CF1162B Double Matrix

传送门：CF1162B Double Matrix

考虑贪心，我们只能交换 $a_{i,j}$ 和 $b_{i,j}$，所以我们考虑将 $a_{i,j}$ 和 $b_{i,j}$ 中小的数放入 $a_{i,j}$，大的数放入 $b_{i,j}$。紧接着判断一次，如果两个矩阵都严格递增，输出 Possible，否则输出 Impossible。

那么有没有证明呢？

如果新的矩阵不满足递增顺序，那么无论如何排序，矩阵仍然无法递增。我们这样考虑：

假设新的矩阵 $a$ 中有一个 $a_{i,j}$ 与 $a_{i, j-1}$ 非递增顺序，那么我们尝试交换 $a_{i,j}$ 与 $b_{i,j}$ 的值。我们以最好的方向考虑，假设 $b_{i,j}>a_{i,j-1}$，那么我们要证明的就是 $a_{i,j} \le b_{i,j-1}$。

首先，在没有交换 $a_{i,j}$ 与 $b_{i,j}$ 的值前，$b_{i,j}$ 与 $b_{i, j-1}$ 有两种可能的关系：

1. 递增，即 $b_{i,j}>b_{i,j-1}$，那么交换后需要满足 $a_{i,j}>b_{i,j-1}$，如果 $a_{i,j}>b_{i,j-1}$，那么显然因为 $b_{i,j-1}>a_{i,j-1}$ 可得 $a_{i,j} \ge a_{i,j-1}$，与一开始的假设矛盾，故交换 $a_{i,j}$ 与 $b_{i,j}$ 的值后矩阵不可能递增。

2. 不递增，即 $b_{i,j} \le b_{i,j-1}$，那么又因为 $a_{i,j} \le b_{i,j}$，显然 $a_{i,j} \le b_{i, j-1}$，故不行。

综上得证。

纵向的推导过程也是这样。

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 55;
int a[N][N], b[N][N], n, m;

int main()
{
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++) scanf("%d", &a[i][j]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			scanf("%d", &b[i][j]);
			if (b[i][j] < a[i][j]) swap(a[i][j], b[i][j]);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			if (a[i][j] <= a[i][j - 1] || a[i][j] <= a[i - 1][j] || b[i][j] <= b[i][j - 1] || b[i][j] <= b[i - 1][j])
			{
				puts("Impossible");
				goto End;
			}
		}
	}
	puts("Possible");
	End:
	return 0;
}