P3755 [CQOI2017]老C的任务

题意

给定一个二维平面，其中有多个点 $(x_i, y_i)$，对于每个点 $(x_i, y_i)$ 都有一个权值 $p_i$。给定多组询问，每次询问点对 $(x_1, y_1)$ 和点对 $(x_2, y_2)$ 之间的矩阵中的权值和。

解法

各位都有分块、主席树等各种写法，那我来加一个 CDQ 分治的写法。

首先我们思考如何将这个问题转化成三维偏序。

考虑点对 $(x_1, y_1)$ 和点对 $(x_2, y_2)$ 之间的矩阵和，我们可以将其转化成一个二维前缀和问题，就是将一次询问拆成四组询问，分别是：

1. 矩阵 $(x_2, y_2)$ 到 $(1, 1)$ 的和，设这个和为 $a_1$。

2. 矩阵 $(x_1 - 1, y_1 - 1)$ 到 $(1, 1)$ 的和，设这个和为 $a_2$。

3. 矩阵 $(x_2, y_1 - 1)$ 到 $(1, 1)$ 的和，设这个和为 $a_3$。

4. 矩阵 $(x_1 - 1, y2)$ 到 $(1, 1)$ 的和，设这个和为 $a_4$。

那么显然这次询问的答案即为 $a_1 + a_2 - a_3 - a_4$。

但是仔细一看这还是个二维偏序，所以给他加一维，表示这个点是询问还是给定的点。

然后就是三维偏序板子，注意这题可以不用树状数组，因为第三维只有可能是 $0$ 或 $1$。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

#define ll long long

constexpr int N(5e5 + 5);

int n, m;
ll ans[N];

struct Node
{
	int x, y, z, p, id, s;
	ll sum;
	/*
	* x, y: 坐标
	* z: 表示是否是询问
	* p: 权值
	* id: 询问编号
	* s: 正负性
	* sum: 和
	*/
	bool operator<(const Node& g) const
	{
		if (x ^ g.x) return x < g.x;
		if (y ^ g.y) return y < g.y;
		return z < g.z;
	}
}q[N], w[N];

inline void merge_sort(int l, int r)
{
	if (l >= r) return;
	int mid(l + r >> 1);
	merge_sort(l, mid);
	merge_sort(mid + 1, r);
	int i(l), j(mid + 1), k(0);
	ll sum(0);
	while (i <= mid && j <= r)
	{
		if (q[i].y <= q[j].y)
		{
			sum += !q[i].z * q[i].p, w[k++] = q[i++];
		}
		else
		{
			q[j].sum += sum * q[j].s;
			w[k++] = q[j++];
		}
	}
	while (i <= mid) sum += !q[i].z * q[i].p, w[k++] = q[i++];
	while (j <= r)
	{
		q[j].sum += sum * q[j].s;
		w[k++] = q[j++];
	}
	for (i = l, j = 0; j < k; i++, j++) q[i] = w[j];
}

signed main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i(0); i < n; i++)
	{
		int x, y, p;
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &p);
		q[i] = { x, y, 0, p, 0, 0, 0 };
	}
	int p(n - 1);
	for (int i(1); i <= m; i++)
	{
		int x1, y1, x2, y2;
		scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
		q[++p] = { x1 - 1, y2, 1, 0, i, -1, 0 };
		q[++p] = { x2, y1 - 1, 1, 0, i, -1, 0 };
		q[++p] = { x2, y2, 1, 0, i, 1, 0 };
		q[++p] = { x1 - 1, y1 - 1, 1, 0, i, 1, 0 };
	}
	sort(q, q + p + 1);
	merge_sort(0, p);
	for (int i(0); i <= p; i++)
	{
		if (q[i].z)
		{
			ans[q[i].id] += q[i].sum;
		}
	}
	for (int i(1); i <= m; i++) printf("%lld\n", ans[i]);
	return 0;
}