网络流学习笔记

网络流学习笔记

1、网络流概念和简介

我们称一个网络为一个有向有权图 $G=(V, E)$。每条边有容量 $c(u, v)$，即该边权值。一个网络中有两个特殊的点 $s$ 和 $t$，即源点和汇点，其中 $s \in V, t \in V, s\neq t$。

可以理解为一个网络是一个水流。$s$ 点是大海，$t$ 点是蓄水池，其余的每个点是中间的点，不能储存水，只能进出。每条边是一条水管。

对于每一个网络，都会有若干个可行流。每个可行流里，对于 $u, v \in V$，$f(u, v)$ 为该边的流量。若 $(u, v) \not \in E$ 且 $(v, u) \not \in E$，那么 $f(u,v)=0$。若 $(u, v) \not \in E$ 但 $(v,u) \in E$，即 $(u,v)$ 为原图边的某一条反向边，那么 $f(u, v) = -f(v,u)$，即原图边的相反数。

对于一个可行流，每个 $f(u, v)$ 都满足容量限制和流量守恒。

1. 容量限制：$f(u, v) \leq c(u, v)$。即流量不大于容量。

2. 流量守恒：除 $s$ 和 $t$ 点外，每个点流入和流出的相等，即入边权值和等于出边权值和。即对于任意 $u \in E$，$u \neq s$，$u \neq t$，都有 $\sum \limits_{(p,u)\in E} f(p,u) = \sum \limits_{(u,p) \in E} f(u,p)$。

若一个流是可行流，那么它的流量定义为 $s$ 点每单位时间流出或者 $t$ 每单位时间内流入的，即 $\sum \limits_{(s,v) \in E} f(s,v) - \sum \limits_{(v,s) \in E} f(v,s)$。通常 $s$ 不会有入边，即 $\sum \limits_{(v,s) \in E} f(v,s) = 0$，但有时候可能会出现反向边。

2、最大流

最大流即最大可行流，对于一个网络 $G$，其最大流为所有可行流中流量最大的流。

2.1 EK 算法

EK 算法是基于增广路的算法。

我们对于网络 $G$ 的一个可行流定义每条边的剩余容量 $p(u,v)$，$p(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$，即容量和流量的差。对于一个可行流，它有一个残留网络 $G^\prime$。$G^\prime$ 是原图中所有点和剩余容量 $>0$ 的边组成的图，注意反向边也被算入其中。

即 $G^\prime = (V^\prime, E^\prime)$，其中 $V^\prime = V$，$E^\prime = \{(u, v) \in E, p(u, v) > 0\} + \{(v,u) \in E, p(u,v)>0\}$。通常我们认为反向边的容量 $c(u,v)=0$，反向边的流量 $f(u,v) = -f(v,u)$，即正向边的相反数。

增广路是指一条在残留网络上从源点 $s$ 到汇点 $t$ 的路径。

EK 算法是一种找增广路算法，每次在残留网络中找一条增广路并构建新的残留网络，找不到增广路时，就找到了一个最大流。注意要反向建边，这样可以反悔流量。因为每次找的增广路不一定是最优的。

使用 EK 算法实现 P3376。

时间复杂度 $O(nm^2)$，比较适用于稀疏图。

2.2 Dinic 算法

Dinic 算法也是基于增广路的算法。与 EK 算法不同，Dinic 算法在每个残留网络上不止会找一次增广路，而会多次增广，直到找不到新的路径时再重构残留网络，接着继续增广。

然而这样做复杂度并不会更优多少，Dinic 在每次对一个残留网络增广前，会把图分层。设 $d_i$ 表示点 $i$ 的层数，那么 $d_s=0$，$d_i$ 为 $i$ 到 $s$ 的最短路径，注意这里和边权无关，即 BFS 第一次搜到的就是最短路径。那么每次增广时，对于当前点 $u$，为了避免环，每次我们只找 $d_v = d_u+1$ 的边增广。

Dinic 算法通常还会有当前弧优化，即对于每一个残留网络，多次增广时，如果一条边增广过，那么对于这次的多次增广，这条边永远都不会重新增广。

使用 Dinic 算法实现 P3376。明显比 EK 快不少，复杂度 $O(n^2m)$，适用于稠密图，稀疏图效率与 EK 差不多。比较推荐使用。

此外最大流还有基于增广路的 MPM，ISAP 和基于预留推进的 HLPP 等其他算法，但是 Dinic 通常不会被卡，其他算法暂时不介绍。

3、最小割

对于一个网络，定义一个割为一种点集划分方式。即将 $V$ 划分成两个点集 $S, T$，使得 $s \in S, t \in T$。

定义一个割的容量 $p(S, T)$ 为连接 $S$ 集合的某个点和 $T$ 集合的某个点的容量和。即 $p(S,T) = \sum \limits_{u \in S, v \in T} c(u, v)$。通常 $p(S, T)$ 可以表示为 $p(s, t)$，即将 $s$ 和 $t$ 两个点分进两个集合，其他节点随意分配。

最小割即容量最小的割。

接着考虑如何求最小割。

结论：一个网络的最大流等于这个网络的最小割。

对于任意流 $F$ 和任意割 $S, T$，都有该可行流的流量 $v(F) \leq c(S, T)$。

证明：可行流的流量 $v(F) = \sum\limits_{(s, v) \in E} f(s, v) - \sum\limits_{(u, s) \in E} f(u, s) = \sum \limits_{u \in S, v \in T} f(u, v) - \sum \limits_{u \in T, v \in S} f(u, v) \leq \sum \limits_{u \in S, v \in T} f(u, v) \leq c(S, T)$。

显然流量 $\leq$ 容量。取等时容量最小，即 $S$ 不存在入边，也就是最大流时。

为什么流量 $=S$ 出边权值和 $-S$ 如边权值和？一开始我也不太理解。$S$ 里，除了 $s$，其余每个点满足流量守恒，所以入边和等于出边和，这些出边和一直拓展到 $t$，但是注意到有些点尽管属于 $S$，但是有来自 $T$ 的入边，那么这些流量就不是 $s$ 流出的，删去即可。

代码和最大流完全一致，不给出。