P5540 [BalkanOI2011] timeismoney | 最小乘积生成树

不妨将 $\sum \limits_{e \in T} a_e$ 和 $\sum \limits_{e \in T} b_e$ 分别作为 $x,y$ 放入平面直角坐标系，题目要求即求一个 $x \cdot y$ 最小的点对 $(x,y)$。

不难发现 $(x,y)$ 可能最小值所在的点一定为一个左下凸壳。

虽然生成树的个数极多，但是期望的在左下凸壳的点较少，找到这些最小值点即可。

接下来考虑如何求：

考虑三个点 $A,B,C$。其中 $C$ 点未知，$A,B$ 已知。

我们可以考虑求出离 $AB$ 最远的在其左下的点 $C$，然后分治求 $AC$ 和 $BC$ 的答案。

即最大化 $S_{\triangle ABC}$。

$S_{\triangle ABC} = -\dfrac{\overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC} }{2}$。

需最大化 $S_{\triangle ABC}$，即考虑最小化 $\overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC}$。

$\begin{aligned} & \; \; \; \; \;\overrightarrow{AB} \times\overrightarrow{AC} \\&= (x_b - x_a)(y_c-y_a)-(y_b-y_a)(x_c-x_a)\\ &= x_by_c-x_by_a-x_ay_c+x_ay_a-y_bx_c+y_bx_a+y_ax_c-y_ax_a \\ &= (x_b-x_a)y_c + (y_a-y_b)x_c + (x_a-x_b)y_a + (y_b - y_a)x_a\end{aligned}$。

显然只有 $y_c$ 和 $x_c$ 为变量，$a,b$ 均为定值。

所以将 $(x_b-x_a)b_i + (y_a-y_b)a_i$ 作为权值求最小生成树即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int N = 1e5 + 5;

class CG
{
public:
	struct Point
	{
		int x, y;
		Point(int _x, int _y): x(_x), y(_y){}
		Point()
		{
			x = y = 0;
		}
	};
	typedef Point Vector;
	friend Vector operator-(const Vector a, const Vector b)
	{
		return Vector(a.x - b.x, a.y - b.y);
	}
};
int cj(CG::Vector a, CG::Vector b)
{
	return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
CG::Point ans = CG::Point(1e9, 1e9);

int n, m;
int u[N], v[N], a[N], b[N];

class Union_Find
{
public:
	int fa[N];
	void Init()
	{
		for (int i = 0; i <= n; i++) fa[i] = i;
	}
	int find(int u)
	{
		return fa[u] == u ? u : fa[u] = find(fa[u]);
	}
	void merge(int u, int v)
	{
		fa[find(u)] = find(v);
	}
};

struct Edge
{
	int u, v, w, aaa, bbb;
	bool operator<(const Edge& x) const
	{
		return w < x.w;
	}
}c[N];

Union_Find uf;

class Kruskal
{
public:
	CG::Point kruskal()
	{
		CG::Point res = CG::Point(0, 0);
		sort(c + 1, c + m + 1);
		uf.Init();
		int cnt = 0;
		for (int i = 1; i <= m && cnt < n - 1; i++)
		{
			int u = c[i].u, v = c[i].v;
			if (uf.find(u) != uf.find(v))
			{
				cnt++;
				uf.merge(u, v);
				res.x += c[i].aaa;
				res.y += c[i].bbb;
			}
		}
		if (res.x * res.y < ans.x * ans.y || (res.x * res.y == ans.x * ans.y && res.x < ans.x))
		{
			ans = res;
		}
		return res;
	}
}k;

void solve(CG::Point x, CG::Point y)
{
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		c[i].w = (y.x - x.x) * c[i].bbb + (x.y - y.y) * c[i].aaa;
	}
	CG::Point C = k.kruskal();
	if (cj(y - x, C - x) >= 0) return;
	solve(x, C);
	solve(C, y);
}

signed main()
{
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld", &u[i], &v[i], &a[i], &b[i]);
		u[i]++;
		v[i]++;
		c[i].aaa = a[i];
		c[i].bbb = b[i];
		c[i].u = u[i], c[i].v = v[i];
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		c[i].w = c[i].aaa;
	}
	CG::Point A = k.kruskal();
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		c[i].w = c[i].bbb;
	}
	CG::Point B = k.kruskal();
	solve(A, B);
	printf("%lld %lld\n", ans.x, ans.y);
	return 0;
}