TREEISO - Tree Isomorphism

如果是有根树，我们只需要从根开始树哈希即可。如果是无根树，一种方案是，依次选取每个点作为根，但复杂度无法接受。当然可以换根 DP，但有一个比较聪明的方法。

找到两棵树的重心进行树哈希。注意重心最多有两个，所以要进行两次树哈希，对哈希值进行对比。

令 $f_i$ 为以 $i$ 为根的子树的哈希值。我们通常可以设计哈希转移：$f_i = 1 +\sum \limits_{j \in son_u} F(f_j)$。其中$F$ 是哈希函数。哈希函数的具体方法很多，例如 $F(i)=114 \times i$。但是由于哈希本身并不能保证 $100\%$ 的正确性，所以哈希函数的设计会很大程度上导致哈希的结果。例如上述的 $F(i) = 114 \times i$ 并不能通过此题。

通常我们使用 Xor-Hash，代码实现如下：

ull shift(ull x)
{
	x ^= P;
	x ^= (x << 7);
	x ^= (x >> 13);
	x ^= (x << 17);
	x ^= P;
	return x;
}

其中 $P$ 是一个常数，可以通过随机获得，也可以自己设定。

此外，哈希通常的实现需要取模，不过也可以用无符号整型自然溢出。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;

vector<int> G[N], G2[N];

int t, n;
using ull = unsigned long long;

ull Hashing[N];
const ull P = 182930841;

ull shift(ull x)
{
	x ^= P;
	x ^= (x << 7);
	x ^= (x >> 13);
	x ^= (x << 17);
	x ^= P;
	return x;
}

set<int> s1, s2;
int sz[N];

void dfs(int u, int f)
{
	sz[u] = 1;
	int maxn = 0;
	for (int& j : G[u])
	{
		if (j != f)
		{
			dfs(j, u);
			sz[u] += sz[j];
			maxn = max(maxn, sz[j]);
		}
	}
	maxn = max(maxn, n - sz[u]);
	if (maxn <= n / 2)
	{
		s1.insert(u);
	}
}

void dfs2(int u, int f)
{
	sz[u] = 1;
	int maxn = 0;
	for (int& j : G2[u])
	{
		if (j != f)
		{
			dfs2(j, u);
			sz[u] += sz[j];
			maxn = max(maxn, sz[j]);
		}
	}
	maxn = max(maxn, n - sz[u]);
	if (maxn <= n / 2)
	{
		s2.insert(u);
	}
}

void Tree_Hashing_1(int u, int f)
{
	Hashing[u] = 1;
	for (int j : G[u])
	{
		if (j != f)
		{
			Tree_Hashing_1(j, u);
			Hashing[u] += shift(Hashing[j]);
		}
	}
}

void Tree_Hashing_2(int u, int f)
{
	Hashing[u] = 1;
	for (int j : G2[u])
	{
		if (j != f)
		{
			Tree_Hashing_2(j, u);
			Hashing[u] += shift(Hashing[j]);
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		s1.clear(), s2.clear();
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; i++) G[i].clear(), G[i].shrink_to_fit(), G2[i].clear(), G2[i].shrink_to_fit();
		for (int i = 1; i < n; i++)
		{
			int u, v;
			scanf("%d%d", &u, &v);
			G[u].emplace_back(v);
			G[v].emplace_back(u);
		}
		for (int i = 1; i < n; i++)
		{
			int u, v;
			scanf("%d%d", &u, &v);
			G2[u].emplace_back(v);
			G2[v].emplace_back(u);
		}
		dfs(1, 1);
		dfs2(1, 1);
		set<int> ss;
		for (int j : s1) Tree_Hashing_1(j, 0), ss.insert(Hashing[j]);
		for (int j : s2)
		{
			Tree_Hashing_2(j, 0);
			if (ss.count(Hashing[j]))
			{
				printf("YES\n");
				goto W;
			}
		}
		printf("NO\n");
	W:;
	}
	return 0;
}