P9989 [Ynoi Easy Round 2023] TEST_69 题解

经典套路是一个数一直求 $\gcd$，在 $O(\log V)$ 的变化次数内会变成 $1$。注意变化次数不是操作次数，也就是说这个数在操作过程中不同取值只有 $O(\log V)$。

考虑一个集合 $S=\{s_1,s_2,\cdots,s_n\}$，现在要对里面每个数，与 $k$ 求 $\gcd$。容易发现的是，当 $k$ 是这些数共同的倍数时，操作无效，否则必然有数被影响。

$k$ 时这些数的共同倍数等价于 $k$ 是这些数最小公倍数的倍数。于是线段树维护区间 $\operatorname{lcm}$，修改时如果遇到操作无效直接退出，否则递归处理。显然一个数最多被修改 $O(\log V)$ 次，所以整体的复杂度是 $O(m \operatorname{polylog} n)$ 的。

范围比较大，我的做法需要 __int128。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <numeric>
#include <vector>
#ifndef ONLINE_JUDGE
#include <__msvc_int128.hpp>
#endif
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;

#ifdef ONLINE_JUDGE
#define _Signed128 __int128
#endif

const _Signed128 MOD = (1LL << 32);

_Signed128 mygcd(_Signed128 a, _Signed128 b)
{
	return (b == 0 ? a : mygcd(b, a % b));
}

_Signed128 mylcm(_Signed128 a, _Signed128 b)
{
	return a / mygcd(a, b) * b;
}

int n, m;
long long a[N];

class SegmentTree
{
public:
	struct Node
	{
		int l, r;
		_Signed128 sum;
		bool bg;
		_Signed128 cm;
	}tr[N << 2];
	void pushup(int u)
	{
		tr[u].sum = (tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum) % MOD;
		tr[u].cm = mylcm(tr[u << 1].cm, tr[u << 1 | 1].cm);
		tr[u].bg = tr[u << 1].bg || tr[u << 1 | 1].bg || (tr[u].cm > static_cast<_Signed128>(static_cast<long long>(1e18)));
	}
	void build(int u, int l, int r)
	{
		tr[u] = { l, r, a[l] % MOD, 0, static_cast<_Signed128>(a[l]) };
		if (l == r) return;
		int mid = l + r >> 1;
		build(u << 1, l, mid);
		build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
		pushup(u);
	}
	void update(int u, int l, int r, _Signed128 k)
	{
		if (!tr[u].bg && k % tr[u].cm == 0) return;
		if (tr[u].l == tr[u].r)
		{
			_Signed128 val = mygcd(k, (_Signed128)tr[u].cm);
			tr[u].sum = val % MOD;
			tr[u].cm = val;
			tr[u].bg = 0;
			return;
		}
		int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
		if (l <= mid) update(u << 1, l, r, k);
		if (r > mid) update(u << 1 | 1, l, r, k);
		pushup(u);
	}
	_Signed128 query(int u, int l, int r)
	{
		if (tr[u].l >= l and tr[u].r <= r) return tr[u].sum % MOD;
		int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
		_Signed128 sum = 0;
		if (l <= mid) sum = query(u << 1, l, r);
		if (r > mid) sum = (sum + query(u << 1 | 1, l, r)) % MOD;
		return sum;
	}
}sgt;

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
	sgt.build(1, 1, n);
	while (m--)
	{
		int op, l, r;
		cin >> op >> l >> r;
		if (op == 1)
		{
			long long k;
			cin >> k;
			sgt.update(1, l, r, static_cast<_Signed128>(k));
		}
		else
		{
			cout << (long long)sgt.query(1, l, r) << "\n";
		}
	}
	return 0;
}