CF802N April Fools' Problem (medium) 题解

比较简单的费用流。

考虑这样一个建模：$S$ 连向每个 $a_i$，容量为 $1$，费用为 $0$，每个 $a_i$ 连向所有 $b_j(j \geq i)$，容量为 $1$，费用为 $a_i$。现在我们要考虑怎么使得恰好选 $k$ 个。显然可以每个 $b_i$ 连向一个虚点 $P$，容量为 $1$，费用为 $b_i$。然后 $P \rightarrow T$，容量为 $k$，费用为 $0$。跑最小费用最大流即可。

然而此时要连 $O(n^2)$ 条边，跑费用流复杂度会达到 $O(n^4)$，复杂度瓶颈在于边数。注意到每个 $i$ 会连向 $j \geq i$，直接后缀优化建图即可。$b_i \rightarrow b_{i+1}$，容量为 $+\infty$，费用为 $0$ 即可做到 $O(n^3)$ 的复杂度。

理论上应该过不了，实际上这是网络流，所以能过。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int N = 1e5 + 5;
int n, k, a[N], b[N];

class MCMF
{
public:
	int S, T;
	int e[N], h[N], c[N], sc[N], ne[N], idx;
	int sum;
	void Init()
	{
		memset(h, -1, sizeof h);
	}
	void add(int u, int v, int w, int cs)
	{
		e[idx] = v, c[idx] = w, sc[idx] = cs, ne[idx] = h[u], h[u] = idx++;
		e[idx] = u, c[idx] = 0, sc[idx] = -cs, ne[idx] = h[v], h[v] = idx++;
	}
	int dis[N], cur[N];
	bool isin[N];
	bool spfa()
	{
		for (int i = 0; i <= T; i++)
		{
			dis[i] = (int)4e18;
			cur[i] = -1;
		}
		queue<int> q;
		q.push(S);
		dis[S] = 0;
		cur[S] = h[S];
		while (q.size())
		{
			int u = q.front();
			q.pop();
			isin[u] = 0;
			for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
			{
				int j = e[i];
				if (c[i] > 0 && dis[j] > dis[u] + sc[i])
				{
					dis[j] = dis[u] + sc[i];
					cur[j] = h[j];
					if (!isin[j])
					{
						isin[j] = 1;
						q.push(j);
					}
				}
			}
		}
		return (dis[T] != (int)4e18);
	}
	int dfs(int u, int lim)
	{
		if (u == T) return lim;
		isin[u] = 1;
		int ans = 0;
		for (int i = cur[u]; ~i && ans < lim; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			cur[u] = i;
			if (c[i] > 0 && dis[j] == dis[u] + sc[i] && !isin[j])
			{
				int p = dfs(j, min(c[i], lim - ans));
				ans += p;
				c[i] -= p;
				c[i ^ 1] += p;
				sum += p * sc[i];
			}
		}
		isin[u] = 0;
		return ans;
	}
	int dinic()
	{
		int ans = 0;
		while (spfa())
		{
			int u;
			while (u = dfs(S, (int)4e18)) ans += u;
		}
		return ans;
	}
}f;

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	f.Init();
	cin >> n >> k;
	f.S = 0, f.T = 2 * n + 2;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> a[i];
		f.add(f.S, i, 1, 0);
		f.add(i, i + n, 1, a[i]);
	}
	for (int i = 1; i < n; i++) f.add(i + n, i + n + 1, (int)4e18, 0);
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i], f.add(i + n, 2 * n + 1, 1, b[i]);
	f.add(2 * n + 1, f.T, k, 0);
	f.dinic();
	cout << f.sum << "\n";
	return 0;
}