CF1917F Construct Tree 题解

注意到如果 $l$ 中最大的两个数之和 $>d$，显然无解。

比较容易想到的是，我们先构造一条边权和为 $d$ 的链，然后考虑讲其他边全都连在一个点上，这样显然是优的。

考虑这个点两边边权到链顶点距离和分别为 $x,y$，那么考虑除链上的边权最大值 $z$，必然要满足 $z \leq x$ 且 $z \leq y$。否则这条链就不是直径了。

考虑 $z$ 只有两种，第一种是 $z$ 为 $l$ 全局最大值。此时相当于判定 $l$ 中是否存在两个不相交子集，两个子集和为 $d$，且两个子集和的最小值都不小于 $l$ 中最大值。用 bitset 维护背包就可以做到 $O(\dfrac{nd^2}{\omega})$ 的复杂度。

第二种是 $l$ 的最大值在链上，此时只要有这样一条链满足和为 $d$ 且最大值在链上即可。不需要考虑其他权值。朴素背包处理即可。

综上，总复杂度 $O(\dfrac{nd^2}{\omega})$，可以通过。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <bitset>
using namespace std;

const int N = 2005;

int t, n, d, l[N];
bitset<N> bt[N], g[N];
bool f[N];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		cin >> n >> d;
		for (int i = 0; i <= d; i++) bt[i].reset(), f[i] = 0;
		bt[0][0] = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> l[i];
		sort(l + 1, l + n + 1);
		if (l[n] + l[n - 1] > d)
		{
			cout << "nO\n";
			continue;
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for (int j = d; j >= 0; j--)
			{
				g[j] = bt[j] << l[i];
			}
			for (int j = d; j >= l[i]; j--)
			{
				bt[j] |= (bt[j - l[i]] | g[j]);
			}
			for (int j = l[i] - 1; j >= 0; j--) bt[j] |= g[j];
		}
		int nd = d - l[n];
		for (int i = 0; i <= d; i++)
		{
			if (bt[i][d - i] && i >= l[n] && d - i >= l[n])
			{
				cout << "yEs\n";
				goto E;
			}
		}
		f[0] = 1;
		for (int i = 1; i < n; i++)
		{
			for (int j = d; j >= l[i]; j--) f[j] |= f[j - l[i]];
		}
		if (f[nd])
		{
			cout << "yEs\n";
			goto E;
		}
		cout << "nO\n";
	E:;
	}
	return 0;
}