AT_abc342_f [ABC342F] Black Jack 题解

注意到对方的操作与我们选择的无关。故可以直接 DP 求出对方最终点数为 $i$ 的概率。这部分可以前缀和优化。

现在考虑我们怎么做能最优化概率。逆着 DP，$f_i$ 表示假如初始点数为 $i$ 的最优概率。$f_0$ 即为所求。你发现转移分两部分，一部分是，我在 $i$ 不动，另一部分是我扔出骰子。第一部分直接计算概率，第二部分通过后缀和优化。复杂度线性。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//#define int long long

const int N = 5e5 + 5, MOD = 1e9 + 7, HSMOD = 1610612741, HSMOD2 = 998244353; // Remember to change

int n, l, d;
mt19937 rnd(chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());

long long qpow(long long a, long long b)
{
	long long res = 1ll, base = a;
	while (b)
	{
		if (b & 1ll) res = res * base % MOD;
		base = base * base % MOD;
		b >>= 1ll;
	}
	return res;
}

bool isprime(int x)
{
	if (x == 1) return 0;
	for (int i = 2; 1ll * i * i <= x; i++) if (x % i == 0) return 0;
	return 1;
}

namespace FastIo
{
	#define QUICKCIN ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0)
	int read()
	{
		char ch = getchar();
		int x = 0, f = 1;
		while ((ch < '0' || ch > '9') && ch != '-') ch = getchar();
		while (ch == '-')
		{
			f = -f;
			ch = getchar();
		}
		while (ch >= '0' && ch <= '9')
		{
			x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
			ch = getchar();
		}
		return x * f;
	}
	template<class T>
	void write(T x)
	{
		if (x < 0)
		{
			putchar('-');
			x = -x;
		}
		if (x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
	template<class T>
	void writeln(T x)
	{
		write(x);
		putchar('\n');
	}
}

template<typename T>
class Bit
{
public:
	T lowbit(T x)
	{
		return x & -x;
	}
	T tr[N];
	void add(T x, T y)
	{
		while (x < N)
		{
			tr[x] += y;
			x += lowbit(x);
		}
	}
	T query(T x)
	{
		T sum = 0;
		while (x)
		{
			sum += tr[x];
			x -= lowbit(x);
		}
		return sum;
	}
};

double f[N];
double sum[N];
double f2[N];
double sf[N];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	cin>>n>>l>>d;
	f[0]=1;
	sum[0]=1;
	double avg=1.0/d;
	for(int i=1;i<N;i++)
	{
		if(i<l)
		{
			int L=max(0,i-d),R=i-1;
			f[i]=avg*(sum[R]-(L==0?0:sum[L-1]));
		}
		else
		{
			int L=max(0,i-d),R=l-1;
			if(L<=R)
			{
				f[i]=avg*(sum[R]-(L==0?0:sum[L-1]));
			}
		}
		sum[i]=sum[i-1]+f[i];
	}
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		if(i<l)
		{
			f[i]=0;
		}
		sum[i]=(i?sum[i-1]:0)+f[i];
	}
	double sumgn=0;
	for(int i=n+1;i<N;i++) sumgn+=f[i];
	for(int i=n+1;i<N;i++) f2[i]=0;
	for(int i=n;i>=0;i--)
	{
		f2[i]=avg*(sf[i+1]-sf[i+d+1]);
		f2[i]=max(f2[i],sumgn+(i?sum[i-1]:0));
		sf[i]=sf[i+1]+f2[i];
	}
	cout<<fixed<<setprecision(15)<<f2[0]<<"\n";
	return 0;
}