题解 P1273 【有线电视网】

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Problem

Solution

这题显然是个树形dp之树上分组背包，信心满满地写出转移方程后，发现：时间复杂度 $ O(n^3) $ ？？？
但仔细观察了讨论区和题解后，发现，这是 $ O(n^2) $ 的？？？
于是我开始尝试牙刷图、分块牙刷图、菊花图、扫帚图。。。。卡标算。。。燃鹅失败了。。。
证明：
暂且先认为所有节点都会产生贡献，这不会影响最坏复杂。
考虑一下最里面循环的过程，可以认为等效于枚举之前的子树里的节点与当前子树的节点的两两组合。

不难发现此时u节点是这样的点对的lca，因此：每一对点只会在它们的lca上产生一次计算量。
由此可证，时间复杂度为 $ O(n^2) $ 。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=3005;
struct Edge { int v,w; Edge *nxt; };
int n,m,a[maxn],f[maxn][maxn],t[maxn];
Edge mem[maxn],*G[maxn],*ecnt=mem;
inline void AddEdge(int u,int v,int w) { ecnt->v=v; ecnt->w=w; ecnt->nxt=G[u]; G[u]=ecnt++; }
int dfs(int u)
{
	if(u>n-m)
	{
		f[u][1]=a[u];
		return 1;
	}
	int tot=0,v,sz;
	for(Edge *it=G[u];it;it=it->nxt)
	{
		v=it->v; sz=dfs(v);
		for(int i=0;i<=tot;i++) t[i]=f[u][i];
		for(int i=0;i<=tot;i++)
			for(int j=0;j<=sz;j++)
				f[u][i+j]=max(f[u][i+j],t[i]+f[v][j]-it->w);
		tot+=sz;
	}
	return tot;
}
int main()
{
	#ifdef local
	freopen("pro.in","r",stdin);
	#endif
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n-m;i++)
	{
		int tot,v,w;
		scanf("%d",&tot);
		while(tot-->0) { scanf("%d%d",&v,&w); AddEdge(i,v,w); }
	}
	for(int i=n-m+1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	memset(f,~0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=0;
	dfs(1);
	for(int i=m;i>=0;i--) if(f[1][i]>=0) { printf("%d\n",i); return 0; }
	return 0;
}