题解 P1064 【金明的预算方案】

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Solution

最通俗易懂的树形依赖背包（主附件背包）的题解

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• 前置姿势：树的后序遍历
• 参考信息：树形依赖背包的优化方法

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树形依赖背包问题

每个点有个权值和体积，如果选了某个点那么它的父亲也必须选，问体积和<=m的最大权值和。

肿么办？

• 枚举每颗子树的选取方式，暴力搞不好都能写错（WTF)
• 用泛化物品的和，\(O(n*m^2)\)解决（emmm!@#!!$!#）
• 用泛化物品的并，\(O(n*m)\)解决（已经不是正常人能理解的了）
• 用后序遍历化为序列上背包 ✔

我们考虑求出树的后序遍历，那么对于i这棵子树，它在后序遍历上是连续一段，并且i在最后，这样就可以确保转移时需要的状态已经计算完毕。

考虑i选还是不选，如果选的话f[i]可以从f[i−1]转移过来，否则直接从f[i−size[i]]copy过来。

需要注意一些细节，详见代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
template<typename T> inline void read(T& t)
{
    t=0; int ch,f=false;
    while(ch=getchar(),!((ch>='0'&&ch<='9')||ch=='-'));
    if(ch=='-') f=true,ch=getchar();
    t=ch^48;
    while(ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9') t=t*10+(ch^48);
    if(f) t=-t;
}
template<typename T,typename... Args> inline void read(T& t,Args&... args) { read(t); read(args...); }
const int maxn=65;
const int maxm=32005;
int f[maxn][maxm];
vector<int> son[maxn];
int V[maxn],W[maxn];
int n,m,v,p,q;
int sz[maxn],suf[maxn],cnt;
void dfs(int u)
{
	sz[u]=1;
	for(int i=0;i<son[u].size();i++) { dfs(son[u][i]); sz[u]+=sz[son[u][i]]; }
	suf[++cnt]=u;
}
int main()
{
#ifdef local
	freopen("pro.in","r",stdin);
#endif
	read(m,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		read(v,p,q);
		V[i]=v*p; W[i]=v; son[q].push_back(i);
	}
	dfs(0);
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		int now=suf[i];
		for(int j=m;j>=0;j--)
			if(j>=W[now]) f[i][j]=max(f[i-sz[now]][j],f[i-1][j-W[now]]+V[now]);
			else f[i][j]=f[i-sz[now]][j];
	}
	printf("%d\n",f[cnt][m]);//注意应该输出虚拟节点
	return 0;
}