noip复习——逆元

逆元，即对给定\(a,p\ (a \perp p)\)，求\(x\)使得\(ax \equiv 1 \ (\bmod p)\)

逆元可以看做\(a\)在模\(p\)意义下的\(a^{-1}\)。因此，在模\(p\)意义下，可以用乘\(a\)的逆元的方式来代替除以\(a\)操作

求单个数的逆元

费马小定理求逆元

当\(p\)是质数且\(a\perp p\)时 $$a^{p-1}\equiv1\quad (\bmod p) $$

方程两边同时乘\(a^{-1}\),可以发现$$a^{-1}\equiv a ^{p-2}\quad(\bmod p)$$

可以直接快速幂求 传送门

欧拉定理求逆元

欧拉定理可以适用于满足\(a\perp p\)的情况 $$a^{\varphi(p)}\equiv 1\quad (\bmod p) $$

同理可得$$a^{-1}\equiv a^{\varphi(p)-1} \quad (\bmod p) $$

现在的问题变成了，如何求欧拉函数？

1.线性筛\(O(p)\)求

适用于多个模数的情况 传送门

如果是单一模数怎么办呢？有更高效的做法

2.\(O(\sqrt{p})\)做法

\[\varphi(p)=p\prod\limits_{i}(1-\frac1i) \]

其中，\(i\)是\(p\)的所有质因子

#define LL long long
LL get_phi(LL n)
{
    LL sum = n;
    for (LL i = 1; i * i <= n; ++i)
        if (n % i == 0)
        {
            sum -= sum / i;
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    if (n > 1)
        sum -= sum / n;
    return sum;
}

exgcd求逆元

exgcd可以求解方程组\(ax+by=c\)的解，而求\(a\)在模\(p\)下的逆元可以转化为求\(ax+py=1\)的解

求多个数的逆元

线性求1~n的逆元

题目传送门

令\(p=ki+r,k=\lfloor\frac pi \rfloor. r=p \bmod i\)

则有\(ki+r \equiv 0\quad (\bmod p)\),乘\(i^{-1},r^{-1}\)可得\(kr^{-1}+i^{-1}\equiv 0\quad (\bmod p)\)

所以\(i^{-1}=-r^{-1}\lfloor\frac pi \rfloor\)

显然可以递推求解

线性求n个数的逆元

题目传送门

先预处理出这n个数的前缀积\(sum_i\)，然后求出这n个数积的逆元\(suminv_n\)，那么\(suminv_{i-1}=suminv_i*a_i\)，\(inv_i=suminv_{i}*sum_{i-1}\)。