排列与组合的一些定理（二）

一，容斥原理

设S是一个集合，A_i 是S 中具有性质 P_i 的元素组成的子集合。那么，S中既不具有性质P1,也不具有性质P2，...更不具有性质P_n 的元素个数为：

 

二，容斥原理计算 有限制的重组合问题

①什么是有限制的重组合问题？(重组合就是，某个元素可重复选择)

从集合{k₁·b₁，k₂·b₂，....，k_n·b_n}中选取r个元素，（不考虑次序），一共有多少种组合？

元素，可以是一个抽象的概念。一切问题，只要满足这个“范式”，就可以视为一个重组合问题，从而用容斥原理求解。

从集合可以看出：b₁ 最多只能选取k₁个，b₂ 最多只能选取k₂个，...，b_n 最多只能选取k_n个

而在这篇文章的末尾提到了无限的重组合问题求解公式。因此，可以试着将有限制的重组合问题转化为无限制的重组合问题(但是附加了一些条件)。

解法如下：

首先考虑问题1：在无限制的重组合问题的 集合中选取 r 个元素时，一共有多少种选取方法？----答案是一共有F(n,r)种。

然后再定义: 性质A₁ 表示 问题1得到的选取方案中 至少要存在 k₁+1 个b₁

性质A₂ 表示 问题1得到的选取方案中 至少要存在 k₂+1 个b₂

.....

性质A_n 表示 问题1得到的选取方案中 至少要存在 k_n+1 个b_n

从而，问题：从集合{k₁·b₁，k₂·b₂，....，k_n·b_n}中选取r个元素，（不考虑次序），一共有多少种组合？

转化成了：从集合{∞·b₁，∞·b₂，....，∞·b_n}中选取r个元素，（不考虑次序），并且b₁不超过k₁ b₂不超过k₂，b_n不超过k_n，一共有多少种组合？

因此，有限制的重组合问题就转化成了无限制的重组合问题，但是附加了条件：b₁不超过k₁ ，b₂不超过k₂，b_n不超过k_n

用数学公式表示就是：|A¯₁ ∩ A¯₂ ∩....A¯_n|    A¯₁表示不具有A₁性质的集合（即A₁的非）

根据容斥原理：|A¯₁ ∩ A¯₂ ∩....A¯_n|就可以计算出来了。

 

三，容斥原理计算错排问题

错排问题就是：给定N个数1,2,3...n  要求第 i 个数不在 第 i 个位置上，一共有多少种排列？

性质A₁表示第 1 个数恰好在 1 位置上

性质A₂表示第 2 个数恰好在 2 位置上

.....

性质A_n表示第 n 个数恰好在 n 位置上

错排问题就可以表示成公式：|A¯₁ ∩ A¯₂ ∩....A¯_n| ，就可以用“容斥原理”来计算了。

 

四，棋盘多项式

是一种更复杂度的错排问题。

比如，给定一个4行4列的矩阵，元素1不能放在第1行第2列；元素2不能放在第4行第3列；元素3不能放在第1行第3列。求这三个元素一共有多少种放置方式？

 

五，母函数

母函数有两种：普通的母函数 和 指数母函数。普通母函数一般用来解决组合问题，指数母函数用来解决排列问题。

不管是排列问题，还是组合问题。都是从 n 个数中选出若干个数。排列问题关注的是：是把选出的数做排列(考虑顺序)，组合问题则是不考虑顺序。

①普通母函数

(1+x)(1+x)...(1+x)(1+x)=(1+x)ⁿ 这个公式表示了：一共有n个物品，每个物品要么不选，要么选中（每个物品最多只能选一次）。

对于每一项(1+x)，1 表示不选，x表示选中。一共有 n 个(1+x)，即表示一共有 n 个物品。

那么从 n 个物品中选取 r个一共有多少种选择？（不考虑顺序--默认是组合问题）

将(1+x)(1+x)...(1+x)(1+x) 乘出来，得到1,2...n的多项式。x^r 的系数就是： n 个物品中选取 r个的 总共的选取方法数。

由二项式定理：(1+x)ⁿ = C(n,0)X⁰ Yⁿ + C(n,1)X¹ Y^n-1 +.....+ C(n,n)Xⁿ Y⁰ = C(n,0)X⁰ + C(n,1)X¹ +.....+ C(n,n)Xⁿ (其中Y=1)

可以看出 x^r 的系数为C(n,r)，刚好符合。

普通，对这种简单的组合问题，用普通母函数计算太复杂了。普通母函数合适的是更复杂一些的组合问题。

如，有 n 个物品，每个物品最多可选两次，从中选取 r 个有多少种选择方案？母函数为：

(1+x+x²)(1+x+x²).....(1+x+x²) = (1+x+x²)ⁿ

选择方案数为(1+x+x²)(1+x+x²).....(1+x+x²) = (1+x+x²)ⁿ 的 x^r 的系数。

再比如，有 n 个物品，每个只能选奇数次，母函数如下：

(x+x³+...x^2k-1)(x+x³+...x^2k-1).....(x+x³+...x^2k-1) = (x+x³+...x^2k-1)ⁿ

......

再比如，有4 个物品，第1个物品最多只能选 2次，第二个物品只能选奇数次，第三个物品只能选偶数次，第四个物品最多只能选取3次。从中选取 r 个物品，一共有多少种选择方案？（组合问题）

普通母函数如下：(1+x+x²)(x+x³+...x^2k-1)(1+x²+...x^2k)(1+x+x²+x³)

将上面的母函数解出来，x^r 的系数就是选择的方案的数目。

 

②指数母函数

指数母函数的用法与普通母函数的用法一致。只不过是“表示形式”不同而已。

(1+x+x²+x³)在普通母函数中 表示某个物品在组合计数中 可选0次，1次，2次，3次【或者说该物品最多可选3次】

那指数母函数中选择某个物品该如何表示呢？

(1+x+x²/2!+x³/3!+...+x^k/k!)就表示：某个物品在排列计数中 可选0次，1次，2次....k次【或者说该物品最多可选k次】

如，有 n 个物品，每个物品最多可选两次，从中选取 r 个有多少种选择方案？母函数为：

(1+x+x²/2!)(1+x+x²/2!).....(1+x+x²/2!) = (1+x+x²/2!)ⁿ

选择方案数为(1+x+x²/2!)(1+x+x²/2!).....(1+x+x²/2!) = (1+x+x²/2!)ⁿ的 x^r 的系数。

再比如，有4 个物品，第1个物品最多只能选 2次，第二个物品只能选奇数次，第三个物品只能选偶数次，第四个物品最多只能选取3次。从中选取 r 个物品，一共有多少种选择方案？（排列问题）

指数母函数如下：(1+x+x²/2!)[(x+x³/3!+...x^2k-1/(2k-1)!)][(1+x²/2!+...x^2k/(2k)!](1+x+x²/2!+x³/3!)

排列的方案数就是指数母函数解出来，x^r的系数

 

六，整数拆分

给定一个整数 n，将 n 拆分成 1，2，3 的和，一共有多少种拆分方式？

比如：n=4。 4=1+1+1+1；4=1+1+2；4=2+2；4=1+3

故一共有4种拆分方式。

考虑(1-x)^-1 = (1+x+x²+...+xⁿ)，根据上面的普通母函数可知：“某个物品可选0次，1次，2次.....n次” (1*[0,1,2,...n])

比如：x³ 就表示数字1选取了3次，x²表示数字1选取了2次....

考虑(1-x²)^-1 = (1+x²+x⁴+...+x²ⁿ)，根据上面的普通母函数可知：“某个物品可选0次，2次，4次.....2n次” （2*[0,1,2,...n]）

比如：x⁶就表示数字2选取了3次，x⁴表示数字2选取了2次....

考虑(1-x³)^-1 = (1+x²+x⁴+...+x²ⁿ)，根据上面的普通母函数可知：“某个物品可选0次，3次，6次.....3n次”(3*[0,1,2,...n])

比如：x⁶就表示数字3选取了2次，x³表示数字3选取了1次....

 

因此，整数 n 拆分成1，2，3之和的方式数为：

(1-x¹)^-1 *(1-x²)^-1 * (1-x³)^-1 的 xⁿ 的系数就是整数 n 拆分成 1，2，3 之和的方式数。(也就是说 n 只能由 1，2，3 相加得到，但是1，2，3，可以出现多次)

定理：给定一个整数 n ，将 n 拆分成 a ,b ,c ...和的方法数是：

 

七，一些常用的泰勒展开式

(1-x)^-1 = 1+x²+x³+....+xⁿ+...

e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...+xⁿ/n!+....

 

八，参考资料

排列与组合的一些定理