归并排序应用之求数组中的逆序数

一，问题描述

给定一个数组，求解该数组中有多少组逆序对。比如 [7,5,6,4]一共有五对逆序对。分别是:(7,6)，(7，5)，(7，4)，(6，4)，(5，4)

 

二，算法分析

有两种方法来求解逆序对 的数目。一种是，对数组中的每个元素，都与它后面的元素进行比较，若后面的元素比它小，则找到一个逆序对。

这样，第一个元素与后面的n-1个元素比较，一共比较 n-1 次，第二个元素比较 n-2次，.....故一共需要比较  n(n+1)/2 次。时间复杂度为O(N^2)

 另一种方式则是借助排序。试想，某些排序算法（归并、快速排序）只需要O(NlogN)就把整个数组排好序了，那能不能利用排序来求逆序对 的数目？

其实，排序过程，就是一个不断地消除逆序对 的过程。对于有序数组，它的逆序对为0。

而对于消除逆序对，在归并排序中，合并两个有序子数组的过程 就是一个消除逆序对的过程。

关于归并排序可参考：http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5518921.html

因此，只需要对归并排序中的合并过程稍做修改，就可以求解逆序对的数目了。

 

三，代码实现及分析

public class InversePairs {
    //求 arr[] 中逆序对的数目 
    public static int inversePairs(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length <= 1)//特殊情况处理
            return 0;
        int[] tmpArr = new int[arr.length];//类似于 归并排序中用到的辅助数组
        return inversePairs(arr, tmpArr, 0, arr.length - 1);
    }
    //类似于归并排序中的 递归分解数组
    private static int inversePairs(int[] arr, int[] tmpArr, int left, int right) {
        if (left < right) {//递归分割数组的退出条件,当数组中只有一个元素时(left==rigth)不需要再递归了
            int currentPairs = 0;
            int center = (left + right) / 2;
            
            int leftPairs = inversePairs(arr, tmpArr, left, center);//左半部分数组的逆序对数目
            int rightPairs = inversePairs(arr, tmpArr, center + 1, right);//右半部分数组的逆序对数目
            currentPairs = merge(arr, tmpArr, left, center + 1, right);//合并左右部分数组时,消除的逆序对数目
            return leftPairs + rightPairs + currentPairs;
        }
        return 0;// left==right 意味着子数组中只有一个元素.逆序对数目当然为0
    }
    //类似于 归并排序中的 合并两个有序子数组
    private static int merge(int[] arr, int[] tmpArr, int leftPos,
            int rightPos, int rightEnd) {
        int leftEnd = rightPos - 1;
        int numElements = rightEnd - leftPos + 1;//当前合并的元素个数
        int tmpPos = leftPos;

        int inverseCount = 0;//记录逆序对的数目
        while (leftPos <= leftEnd && rightPos <= rightEnd) {
            if (arr[leftPos] > arr[rightPos]) {
                inverseCount += leftEnd - leftPos + 1;
                tmpArr[tmpPos++] = arr[rightPos++];
            } else {
                tmpArr[tmpPos++] = arr[leftPos++];
            }
        }

        while (leftPos <= leftEnd)
            tmpArr[tmpPos++] = arr[leftPos++];
        while (rightPos <= rightEnd)
            tmpArr[tmpPos++] = arr[rightPos++];

        for (int i = 0; i < numElements; i++, rightEnd--)
            arr[rightEnd] = tmpArr[rightEnd];
        return inverseCount;
    }
    //for test purpose
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {2,1,4,3};
        int result = inversePairs(arr);
        System.out.println(result);
    }
}

其实，上面整个过程 与归并排序的实现非常的相似。最重要的是第32行，计算逆序对数目。（与归并排序比较，最主要的变化的也是第32行）

当 merge 两个 数组时：请注意，这两个数组是有序的。因此，逆序对的数目计算公式为：leftEnd - leftPos + 1

比如，如下示例：对于 5 而言，比4大。这说明 5 后面的元素都比 4 大。因此，对于 4 而言有 (5,4) (7,4)两个逆序对。

 

另外，第15行-17行，也是对递归的理解（归并排序是一个递归过程，计算逆序对数目 也是一个递归过程）

int leftPairs = inversePairs(arr, tmpArr, left, center);//左半部分数组的逆序对数目

int rightPairs = inversePairs(arr, tmpArr, center + 1, right);//右半部分数组的逆序对数目

currentPairs = merge(arr, tmpArr, left, center + 1, right);//合并左右部分数组时,消除的逆序对数目
return leftPairs + rightPairs + currentPairs;//最终返回 总的逆序对 的数目

 

四，参考资料

排序算法总结之归并排序