动态规划求解所有字符的组合数

一，问题描述

给定若干个字符，求解 这些字符能够表示的最多组合个数。比如{'a','b','c'} 一共有七种组合。(每种组合没有重复的字符 且 组合的种数与顺序无关，如 ab 和 ba 是同一种组合)

a、b 、c 、ab 、ac 、bc 、abc

其实，求组合个数，可以用公式来求解:具给定 n种字符，一共有  c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n)种不同的组合。其中，c(n,i)表示：从n个字符中任选 i 个的组合数，数学表示为：C ⁱ_n。

 

二，DP算法思路

既然已经可以用上面的公式 c(n,1)+c(n,2)+...+c(n,n) 来计算不同的组合数了，那为什么还用DP？因为，上面的公式只能给定组合数，但是不能给出具体是哪些组合。

假设输入 m 个字符（互不相同），则这些字符只能构成长度为 1,2,....m 的组合，设某个组合的长度为 n。即： 1 =< n <= m

设 c[m][n] 表示 使用 m 种不同的字符，表示长度最多为 n 的组合个数 的最大值。

最大值 体现了最优子问题性质。最优子问题分析如下：把字符组合分成两部分，第一个字符 以及剩下的所有字符。

对于第 m 种字符而言，只有两种情况：①是字符组合的第一个字符，②不是在字符组合的第一个字符。因此，可以应用《组合数学》中的加法原理。（比如 'abc' 就是一个字符组合）

c[m][n]=c[m-1][n-1] + c[m-1][n]

c[m-1][n-1]，表示第 m 个字符是字符组合中的第一个字符。此时，该问题变成：用 1,2,...m-1个字符(共 m-1 种) 来 组合 长度为 n-1的 字符组合(‘字符串’)

c[m-1][n]，表示第 m 个字符不是 字符组合中的第一个字符。此时，该问题变成：在剩余的 m-1种字符里面选出 n 个字符来组合。？？？（有点不太对）

'm' ? ? .... ?             第一个字符是 'm'

'*'  ? ? .....?             第一个字符不是 'm'

 

注意，原问题表示的字符组合 长度是 n

 

这个问题的DP求解与 动态规划求解最多有几种方案求解硬币找零问题 非常相似。

 同时，这也是一个典型的加法原理的应用。

 

三，代码实现

public class AllComposite {
    
    /**
     * 
     * @param str 存储可用的字符种类
     * @param m 可用的字符种类数
     * @param n 组合中的最大长度
     * @return  
     */
    public static int allCombination(char[] str, int m, int n){
        
        //base condition
        if(m == 0 && n > 0)
            return 1;
        
        if(n == 0)
            return 0;
        
        return allCombination(str, m-1, n-1)+ allCombination(str, m-1, n);
    }
    
    
    public static int dpAllCombination(char[] str, int n){
        int[][] c = new int[n+1][n+1];
        
        
        //可根据上面的递归来判断初始条件
        for(int i = 0; i <=n; i++)
        {
            c[0][i] = 1;
            c[i][0] = 0;//c[0][0]=0
        }
        
        //c[n][n]=c[n-1][m-1] + c[n-1][m]
        for(int i = 1; i <=n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <=n; j++)
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
            }
        }
        return c[n][n];
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        char[] str = {'a','b','c','d'};
        int m ,n ;
        m = n = str.length;
        int result = allCombination(str, m, n);
        int result2 = dpAllCombination(str, n);
        System.out.println(result);
        System.out.println(result2);
    }
}

对于初始条件的确定，可以先画一个小的示例图来确定。比如：allCombination({'a','b','c'}, 3)......

在代码里面 记录下具体选了哪些字符，就可以打印输出具有的字符组合了。其实我也不会。

 

时间复杂度分析：从上面的递归方法来看：递归表达式为 T(m)=2T(m-1)，得出：T(m)=2^m ，指数级复杂度

而从上面的动态规划求解方法来看：时间复杂度为O(m^2)

原因就是：这个问题存在重叠的子问题，对于DP而言，不需要重复地计算某些值，而是通过查找求得。这篇文章 求解两个字符串的最长公共子序列 详细分析了DP的优势在哪里。

（动态规划的两个基本特征：①最优子结构；②重叠子问题）

 

四，参考资料

http://www.cnblogs.com/hapjin/p/5579737.html

 求解两个字符串的最长公共子序列

http://wuchong.me/blog/2014/07/28/permutation-and-combination-realize/