二叉排序树的高度分析

一，介绍

对于二叉排序树而言，其相关操作与树的高度息息相关。设树中有N个节点，

尽管各个操作的平均时间复杂度为O(logN)，但当输入的序列有序时，构造出来的树是一个单分支的树，其高度为O(N)

故对二叉排序树的各个操作（如，findMax、contains、findMin...）的时间复杂度也退化成O(N)

 

 二：实现思路

现在分析给定一个输入序列，根据该输入序列构造一棵二叉排序树，统计二叉排序树的平均高度。

 

有一个随机生成一组范围为 [1,N] 的随机数生成算法，该算法参考：

然后，以上面生成的一组序列作为树的结点，插入到树中。

插入完成后，计算该树的树高。

二叉排序树高的平均值 = 各棵树的高度之和 / tree_numbers。比如，30棵二叉排序树，每棵有31个节点，树高度的平均值为 8.666666666666666

 

三，统计结果

树的数目，               每棵树中节点的数目，      二叉排序树高的平均值                   完全二叉树的高度（根的高度为0）

tree_numbers         node_numbers             averHeight

30                         31                               8.666666666666666                   4 

30                         63                               10.833333333333334                 5

30                        127                              13.366666666666667                 6

 

45                        31                                8.422222222222222                   4          

45                        63                                10.822222222222223                 5

45                       127                               13.466666666666667                 6

 

15                       31                                 8.2                                            4

15                       63                                 11.266666666666667                 5

15                       127                               12.666666666666666                 6

 

15                       99                                 11.8                                          6

30                       99                                 12.3                                          6  

45                       99                                 12.488888888888889                 6   

（11.8+12.3+12.49）/3 = 12.19666666

 

从上面可以看出，对于相同数目节点的二叉排序树和完成二叉树，前者的高度要比后者高一倍。

 

四，具体实现代码

import c2.C2_2_8;

public class BinarySearchTree<T extends Comparable<? super T>> {

    private static class BinaryNode<T> {
        T element;
        BinaryNode<T> left;
        BinaryNode<T> right;

        public BinaryNode(T element) {
            this(element, null, null);
        }

        public BinaryNode(T element, BinaryNode<T> left, BinaryNode<T> right) {
            this.element = element;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }

        public String toString() {
            return element.toString();
        }
    }

    private BinaryNode<T> root;

    public BinarySearchTree() {
        root = null;
    }

    public void insert(T ele) {
        root = insert(ele, root);// 每次插入操作都会'更新'根节点.
    }

    private BinaryNode<T> insert(T ele, BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return new BinaryNode<T>(ele);
        int compareResult = ele.compareTo(root.element);
        if (compareResult > 0)
            root.right = insert(ele, root.right);
        else if (compareResult < 0)
            root.left = insert(ele, root.left);
        else
            ;
        return root;
    }

    public int height() {
        return height(root);
    }

    private int height(BinaryNode<T> root) {
        if (root == null)
            return -1;// 叶子节点的高度为0,空树的高度为-1

        return 1 + (int) Math.max(height(root.left), height(root.right));
    }

    public static void main(String[] args) {
        BinarySearchTree<Integer> intTree = new BinarySearchTree<>();
                //统计每棵树有63个节点,共30棵树的平均高度
        double averHeight = intTree.averageHeigth(30, 63, intTree);
        System.out.println("averageheight = " + averHeight);
    }

    public double averageHeigth(int tree_numbers, int node_numbers, BinarySearchTree<Integer> tree) {
        int tree_height, totalHeight = 0;
        for(int i = 1; i <= tree_numbers; i++){
            int[] randomNumbers = C2_2_8.algorithm3(node_numbers);//每棵树随机生成一组序列,该序列作为节点的值
            //build tree
            for(int j = 0; j < node_numbers; j++)//将一组节点插入到树中
            {
                tree.insert(randomNumbers[j]);
                System.out.print(randomNumbers[j] + " ");
            }
            System.out.println();
            tree_height = tree.height();
            System.out.println("height:" + tree_height);
    
            totalHeight += tree_height;//统计树高之和
            tree.root = null;//for building next tree， 参考insert()实现
        }
    return (double)totalHeight / tree_numbers;
    }
}