关于递归的理解及递归表达式复杂度分析（以求解最大公约数为例）
一，递归的四大基本法则：
①基准情形
基准情形是指那些不需要递归（不需要经过函数调用）之后就能退出的情况。它保证了递归的结束。
②不断推进
每一次递归之后，都要向着基准情形靠近，并且在靠近的过程中问题的规模越来越小。
③设计法则
书上说是：假设所有的递归调用都能运行-----“不是特别理解”
④合成效益法则
不要在不同的递归调用中做重复的工作。
二，实例
求解最大公约数--采用欧几里德算法
1 public static int gcd_recursive(int m, int n){ 2 if(m < n) 3 { 4 int tmp = m; 5 m = n; 6 n = tmp; 7 } 8 9 if(n == 0) 10 return m;//基准条件 11 return gcd_recursive(n, m%n);//不断推进 12 }
分析：
第9-10行，是递归的基准条件。如果n=0，函数执行到10返回，不会执行到11行进行递归调用。
第11行，进行递归调用的地方。它是不断推进的，因为递归调用的参数朝着基准条件的方向变小了，如：
gcd_recursive（16，12）---->gcd_recursive（12，4）--->gcd_recursive（4，0）
每次递归调用，问题的规模越来越小了。
时间复杂度分析：
由公式： m%n<=m/2 可知：每次递归调用，问题的规模减小一半，类似于二分查找，这显然是一个非常好的算法。
由于第2-5行，花费的时间为常量时间，同样，在第9-10行的if语句判断也是花费的常量时间，在第11行进行递归调用，问题规模减少一半。
可得出，T(N) = T(N/2)+O(1) 推出：时间复杂度为O(logN)
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递归逻辑的分析：
对于 gcd_recursive（16，12），第9行不成立，进入到第11行递归
对于 gcd_recursive（12，4）， 第9行不成立，进入到第11行递归
对于gcd_recursive（4，0），直接执行到第9行返回，返回的值是4
返回之后，程序此时执行到gcd_recursive（12，4）中的第11行(即最后一行，不要被第9行干扰！第9行在gcd_recursive（12，4）中根本没有执行！！)
第11行代码是：gcd_recursive（4，0）
因为，gcd_recursive（4，0） 的结果是4，故 return gcd_recursive（4，0） 返回的结果也是 4。也即gcd_recursive（12，4）执行完成之后返回4。
由上面gcd_recursive（12，4）执行完成之后返回4，那么当gcd_recursive（16，12）的第11行代码 return gcd_recursive（12，4）
执行完毕时，
整个程序结束了，返回的结果最终是4。
这种形式的递归又称为尾递归。可以看出，尾递归形式的程序最终返回的值就是 最里层递归调用得到的值。
在这篇文章中：字符数组转换成数字
递归的时间复杂度分析如下：
return recurse(c, len - 1) * 10 + (c[len - 1] - '0');
使得每次递归时，问题规模减小1，而后面的 + (c[len - 1] - '0') 操作可视为常量时间，故复杂度：
T(N) = T(N-1)+O(1) 得到T(N)=O(N)
结论：
对于递归操作而言，如果每次递归使问题的规模减半，而其他操作都是常数时间
T(N)=T(N/2)+O(1)， 则T(N)=O(logN)
若每次递归使用问题的规模减1，而其他操作是常数时间
T(N)=T(N-1)+O(1)，则T(N)=O(N)
若每次递归使问题的规模减半，而其他操作是线性时间，T(N) = T(N/2)+O(N)
则T(N)=O(NlogN)
