从子集和问题的动态规划解看判断问题与优化问题的区别与联系

一，子集和问题的动态解

1）子集和问题：给定一组整数构成的一个集合S，并给定另一个整数W，问：在S中是否存在一个子集A 包含于（属于） S,有A中所有元素的和等于W？

（∑_a(i)εAa(i) = W ?）

2) 很明显，子集和问题是NPC问题，证明参考《算法导论第二版中文版》第627页。既然它是NPC的，而我们这里用动态规划来求解该问题，显然是找到该问题的一个近似解。

3）根据1）中子集和问题的描述，该描述是判断问题，即判断集合A中所有的元素之和是不是等于W。当需要用动态规划来求解时，需要将之转化为优化问题。

转化成的优化问题如下：

在集合S中寻找一个子集A，在保证A中所有的元素之和小于等于W的前提下，最大化A中所有的元素之和。

 

这样，得到的子集合问题的动态规划解与K步背包问题的动态规划解非常相似了。这方面的具体解法可以使用GOOGLE搜索Dynamic programming solove subset sum problem.

 

二，判断问题与优化问题的应用场合（区别联系）

优化问题和判断问题（决策问题）是相伴而行的。有一个优化问题就会对应有一个判断问题，反之亦然。

判断问题出现于讨论该问题是否具有NPC性质时，如：顶点覆盖问题是NP完全的，即判断：图G=(V,E)中是否存在一个大小为K的点覆盖。

优化问题出现于在我们用算法设计与分析技术（动态规划、贪心、分治……）来解决某问题时，该问题是一个优化问题。也即，动态规划、贪心、分治针对的是优化问题而不是判断问题。

因此，当证明了某个问题是NPC的之后，就知道它目前没有有效的多项式时间算法解决它了。因此，转而求其次，即求解该问题的近似解。那么，就需要将该问题转化为优化问题，然后再使用算法分析技术进行求解。