数组的非连续元素最大和问题
题目描述
一个有名的按摩师会收到源源不断的预约请求，每个预约都可以选择接或不接。在每次预约服务之间要有休息时间，因此她不能接受相邻的预约。给定一个预约请求序列，替按摩师找到最优的预约集合（总预约时间最长），返回总的分钟数。
输入： [1,2,3,1]
输出： 4
解释： 选择 1 号预约和 3 号预约，总时长 = 1 + 3 = 4。
输入： [2,7,9,3,1]
输出： 12
解释： 选择 1 号预约、 3 号预约和 5 号预约，总时长 = 2 + 9 + 1 = 12。
分析
可以把“预约问题”转化成数组表示，首先它是一个最优化问题：最优即：求可预约时间最长之和的最大值。所谓“可预约时长”，就是由规则：“不能接受相邻预约”确定，反映到数组中，就是不能选取“相邻”数组元素(这种方式描述的规则不太严谨)。
子问题：
要求解整个数组的“最大”可预约时长，对于元素 i 只有2种情况：被预约了 or 未被预约
dp[i][0] 第 i 个元素未被预约的情况下最大时长
dp[i][1] 第 i 个元素预约了的情况下的最大时长
转移方程
对于 dp[i][0]，在不预约第 i 个时间的条件下：第 i-1 个时间即可以预约，也可以不被预约，也即：dp[i][0] 从 dp[i-1][1] 或者从 dp[i-1][0] 转化而来，都不违反“相邻”规则。因此取二者的最大值作为 dp[i][0] 的值，即：dp[i][0] = max{dp[i-1][0], dp[i-1][1]}
对于 dp[i][1]，预约了第 i 个时间，那么第 i-1 个时间是不能预约的，只能从 dp[i-1][0] 转化而来。因此，dp[i][1] = dp[i-1][0] + nums[i] nums[i] 表示第 i 个时间的时长。
初始条件
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = nums[0];
求解可预约的最大时长
遍历 dp 数组，比较 dp[i][0]、dp[i][1]。
代码
class Solution {
public int massage(int[] nums) {
if(nums.length == 0){
return 0;
}
//dp[i][0]表示长度为i的数组第i个元素不被不预约时的最大时长, dp[i][1]表示长度为i的数组 第i个元素预约时的最大时长
int[][] dp = new int[nums.length][2];
//初始化
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = nums[0];
for(int i = 1; i < nums.length; i++){
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]);
dp[i][1] = dp[i-1][0] + nums[i];
}
//遍历，找出最大时长
int max = Integer.MIN_VALUE;
for(int i = 0; i < nums.length; i++){
int bu_yu_xue = dp[i][0];
int yu_xue = dp[i][1];
int candidate = Math.max(bu_yu_xue, yu_xue);
if(candidate > max){
max = candidate;
}
}
return max;
}
}
在遍历找出最大时长，其实 dp 数组的最后一个元素就是最大值。
return Math.max(dp[nums.length-1][0],dp[nums.length-1][1]);
