【whk向】初中数学杂题选做
1 几何
1.1 角平分线定理
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如图, BD 为 ΔABC 的内(外)角平分线,则满足该定理: ABBC=ADCD ,也可以变形为 ABAD=BCCD 。该定理的证法有很多,如:等积法、相似、正弦定理等。
证明留作习题,答案略,读者自证不难。
1.1.1
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本题的方法有很多,就比如建系硬算,或取特殊值巧算(如令 ∠PNM=60° ) ,在此就不做过多阐述了。
在此,给出一个普遍的解法。
(1) :由角平分线定理得, PFFQ=PNQN⇒PFPQ=QNPN+QN ,同理, PEPM=PNPN+MN 。
故,原式可改写为 QNPN+QN+PNPN+MN=PN(2PN+QN+MN)(PN+QN)(PN+MN)=PN(2PN+QN+MN)PN2+(QN+MN)PN+MN⋅QN 。
由射影定理得, PN2=MN⋅QN(1) ,将该式代入上式得,PN(2PN+QN+MN)2PN2+(QN+MN)PN=2PN+QN+MN2PN+QN+MN=1 。
(2) :联立 (1) 式与 PN2=PM⋅MN ,得 QN=PM 。
令 t=MQNQ(t>0) ,易得 t=MQPM=cos∠PMN=PMMN 。
则有 MQPM=PMMN⇒MQNQ=NQMQ+NQ⇒(MQNQ)2+MQNQ−1=0 ,即 t2+t−1=0 ,解得 t=√5−12 。
1.2 托勒密定理
托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线长度之积等于两双对边乘积之和。
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如图,我们在 BD 上取点 E ,连结 CE 使得 ∠BCE=∠ACD ,易得 AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD ,此即为托勒密定理。
实际上,上述形式在直线时也满足,我们称之为四点共线时的欧拉定理:设 A,B,C,D 是直线上依次排列的四点,则有 AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD 。
证明时,我们可以该直线为数轴,设这四点对应的数为 a,b,c,d ,且 a<b<c<d 。证明留作习题,答案略,读者自证不难。
推广可得,在凸四边形 ABCD 中, AB⋅CD+AD⋅BC≥AC⋅BD 。代数证明略,以下用几何方法构造证明:
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在 BD 和 AC 上分别取点 X 和 Y 使得 ∠BAX=∠CAD 和 ∠ABY=∠ACD 。
则我们易得, ΔADC∽ΔAEB⇒ABAC=BECD⇒AB⋅CD=AC⋅BE(1) 与 ABAC=AEAD(2) 。
同样易得, ∠DAE=∠CAB 。结合 (2) 可知, ΔDAE∽ΔCAB⇒DEBC=ADAC⇒BC⋅AD=AC⋅DE(3) 。
由 (1) 和 (3) 得,AB⋅CD+BC⋅AD=AC⋅BE+AC⋅DE=AC⋅(BE+DE)(4) 。
在 ΔDEB 中,有 BE+DE≥BD(5) 。将 (4) 代入 (5) 则得证。
1.2.1
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本题的解法有不少,如将 ΔACD 绕点 C 逆时针旋转 120° ,或过点 C 向 AB 和 AD 分别做垂线等。
在此,我们介绍一种托勒密定理的做法。
连结 BD ,设 BC=CD=a ,则易得 BD=√3a 。
由托勒密定理得 AB⋅CD+AD⋅BC=AC⋅BD⇒3⋅a+5⋅a=√3a⋅AC⇒AC=8√33 。
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