【whk向】初中数学杂题选做

【whk向】初中数学杂题选做

1 几何

1.1 角平分线定理

image

如图, BDΔABC 的内(外)角平分线,则满足该定理: ABBC=ADCD ,也可以变形为 ABAD=BCCD 。该定理的证法有很多,如:等积法、相似、正弦定理等。

证明留作习题,答案略,读者自证不难。

1.1.1

image

本题的方法有很多,就比如建系硬算,或取特殊值巧算(如令 PNM=60° ) ,在此就不做过多阐述了。

在此,给出一个普遍的解法。

(1) :由角平分线定理得, PFFQ=PNQNPFPQ=QNPN+QN ,同理, PEPM=PNPN+MN

故,原式可改写为 QNPN+QN+PNPN+MN=PN(2PN+QN+MN)(PN+QN)(PN+MN)=PN(2PN+QN+MN)PN2+(QN+MN)PN+MN·QN

由射影定理得, PN2=MN·QN(1) ,将该式代入上式得,PN(2PN+QN+MN)2PN2+(QN+MN)PN=2PN+QN+MN2PN+QN+MN=1

(2) :联立 (1) 式与 PN2=PM·MN ,得 QN=PM

t=MQNQ(t>0) ,易得 t=MQPM=cosPMN=PMMN

则有 MQPM=PMMNMQNQ=NQMQ+NQ(MQNQ)2+MQNQ1=0 ,即 t2+t1=0 ,解得 t=512

1.2 托勒密定理

托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线长度之积等于两双对边乘积之和。

image

如图,我们在 BD 上取点 E ,连结 CE 使得 BCE=ACD ,易得 AB·CD+AD·BC=AC·BD ,此即为托勒密定理。

实际上,上述形式在直线时也满足,我们称之为四点共线时的欧拉定理:设 A,B,C,D 是直线上依次排列的四点,则有 AB·CD+AD·BC=AC·BD

证明时,我们可以该直线为数轴,设这四点对应的数为 a,b,c,d ,且 a<b<c<d 。证明留作习题,答案略,读者自证不难。

推广可得,在凸四边形 ABCD 中, AB·CD+AD·BCAC·BD 。代数证明略,以下用几何方法构造证明:

image

BDAC 上分别取点 XY 使得 BAX=CADABY=ACD

则我们易得, ΔADCΔAEBABAC=BECDAB·CD=AC·BE(1)ABAC=AEAD(2)

同样易得, DAE=CAB 。结合 (2) 可知, ΔDAEΔCABDEBC=ADACBC·AD=AC·DE(3)

(1)(3) 得,AB·CD+BC·AD=AC·BE+AC·DE=AC·(BE+DE)(4)

ΔDEB 中,有 BE+DEBD(5) 。将 (4) 代入 (5) 则得证。

1.2.1

image

本题的解法有不少,如将 ΔACD 绕点 C 逆时针旋转 120° ,或过点 CABAD 分别做垂线等。

在此,我们介绍一种托勒密定理的做法。

连结 BD ,设 BC=CD=a ,则易得 BD=3a

由托勒密定理得 AB·CD+AD·BC=AC·BD3·a+5·a=3a·ACAC=833

posted @   haphyxlos  阅读(283)  评论(3编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· PowerShell开发游戏 · 打蜜蜂
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战
点击右上角即可分享
微信分享提示