【whk向】初中数学杂题选做
【whk向】初中数学杂题选做
1 几何
1.1 角平分线定理
如图， \(BD\) 为 \(\Delta ABC\) 的内（外）角平分线，则满足该定理： \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}\) ，也可以变形为 \(\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}\) 。该定理的证法有很多，如：等积法、相似、正弦定理等。
证明留作习题，答案略，读者自证不难。
1.1.1
本题的方法有很多，就比如建系硬算，或取特殊值巧算（如令 \(\angle PNM=60°\) ） ，在此就不做过多阐述了。
在此，给出一个普遍的解法。
\((1)\) ：由角平分线定理得， \(\frac{PF}{FQ}=\frac{PN}{QN}\Rightarrow \frac{PF}{PQ}=\frac{QN}{PN+QN}\) ，同理， \(\frac{PE}{PM}=\frac{PN}{PN+MN}\) 。
故，原式可改写为 \(\frac{QN}{PN+QN}+\frac{PN}{PN+MN}=\frac{PN(2PN+QN+MN)}{(PN+QN)(PN+MN)}=\frac{PN(2PN+QN+MN)}{PN^2+(QN+MN)PN+MN·QN}\) 。
由射影定理得， \(PN^2=MN·QN (1)\) ，将该式代入上式得，\(\frac{PN(2PN+QN+MN)}{2PN^2+(QN+MN)PN}=\frac{2PN+QN+MN}{2PN+QN+MN}=1\) 。
\((2)\) ：联立 \((1)\) 式与 \(PN^2=PM·MN\) ，得 \(QN=PM\) 。
令 \(t=\frac{MQ}{NQ}(t>0)\) ，易得 \(t=\frac{MQ}{PM}=\cos \angle PMN=\frac{PM}{MN}\) 。
则有 \(\frac{MQ}{PM}=\frac{PM}{MN}\Rightarrow\frac{MQ}{NQ}=\frac{NQ}{MQ+NQ}\Rightarrow(\frac{MQ}{NQ})^2+\frac{MQ}{NQ}-1=0\) ，即 \(t^2+t-1=0\) ，解得 \(t=\frac{\sqrt5-1}{2}\) 。
1.2 托勒密定理
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线长度之积等于两双对边乘积之和。
如图，我们在 \(BD\) 上取点 \(E\) ，连结 \(CE\) 使得 \(\angle BCE=\angle ACD\) ，易得 \(AB·CD+AD·BC=AC·BD\) ，此即为托勒密定理。
实际上，上述形式在直线时也满足，我们称之为四点共线时的欧拉定理：设 \(A,B,C,D\) 是直线上依次排列的四点，则有 \(AB·CD+AD·BC=AC·BD\) 。
证明时，我们可以该直线为数轴，设这四点对应的数为 \(a,b,c,d\) ，且 \(a<b<c<d\) 。证明留作习题，答案略，读者自证不难。
推广可得，在凸四边形 \(ABCD\) 中， \(AB·CD+AD·BC\ge AC·BD\) 。代数证明略，以下用几何方法构造证明：
在 \(BD\) 和 \(AC\) 上分别取点 \(X\) 和 \(Y\) 使得 \(∠BAX =∠CAD\) 和 \(∠ABY =∠ACD\) 。
则我们易得， \(\Delta ADC ∽ \Delta AEB\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}\Rightarrow AB·CD=AC·BE(1)\) 与 \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}(2)\) 。
同样易得， \(\angle DAE=\angle CAB\) 。结合 \((2)\) 可知， \(\Delta DAE ∽ \Delta CAB\Rightarrow \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow BC·AD=AC·DE(3)\) 。
由 \((1)\) 和 \((3)\) 得，\(AB·CD+BC·AD=AC·BE+AC·DE=AC·(BE+DE)(4)\) 。
在 \(\Delta DEB\) 中，有 \(BE+DE\ge BD(5)\) 。将 \((4)\) 代入 \((5)\) 则得证。
1.2.1
本题的解法有不少，如将 \(\Delta ACD\) 绕点 \(C\) 逆时针旋转 \(120°\) ，或过点 \(C\) 向 \(AB\) 和 \(AD\) 分别做垂线等。
在此，我们介绍一种托勒密定理的做法。
连结 \(BD\) ，设 \(BC=CD=a\) ，则易得 \(BD=\sqrt3a\) 。
由托勒密定理得 \(AB·CD+AD·BC=AC·BD\Rightarrow 3·a+5·a=\sqrt3a·AC\Rightarrow AC=\frac{8\sqrt3}{3}\) 。
