【whk向】学习报告：向量与复数的联系
【whk向】学习报告：向量与复数的联系
本文以记录zps妹妹的理解为主，待我学完学好向量与复数后，再加入个人的理解。
限于个人水平，本文的整理较乱，如果有更好的表述方式，望指出。
本文存在的不严谨指出望指正。
前置知识
欧拉恒等式
\(e^{i\pi }+1=0\)
这是欧拉公式的特例，我们将 \(x=\pi\) 作代入欧拉公式 \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) 即得出该恒等式。
其中值得注意的是，此处的 \(\pi\) 为超越数圆周率。
正文
引子
我们考虑考虑复数乘法的意义。
先把复数改写成 \(k\times e^{ia}\) 的形式，其中， \(k\) 是模长， \(a\) 是幅角。
然后把两个复数乘起来，发现变成 \((k_1k_2)\times e^{i(a_1+a_2)}\) 。
也就是说，乘起来的时候，模长相乘，角度相加。
这可以用来干啥呢？
我们用乘法实现了加法。
对于一个角，我们可以先找一个 \(a,b\) 使得：向量 \((a,b)\) 的幅角为这个角。
比如说有两个角，就先搞两个 \((a,b)\) 这样的向量，然后拿复数的乘法乘起来就行了。
注意，“向量”和“复数”具有对应关系，这里称向量 \((a,b)\) 和复数 \(a+bi\) 是一个东西。
一
举个例子，我们要求上图的 \(\angle ABC\) ，虽然我们可能提前知道这个结论，即它等于45度。
我们可以这样做，把它的余角求出来，就是 \(BA\) 左边部分和 \(BC\) 右边部分，然后就可以用刚才那个，转换成向量来做。
它等于 \((2+i)\times(3+i)\) ，拆开发现是 \((5+5i)\) ，我们发现它的幅角显然是 \(45°\) ，因为 \(a=b\) 。
详细地说，就是指 \(a+bi\) 里面的 \(a,b\) 相等，因为我们知道它的幅角其实就是 \(arctan(b/a)\) ，当 \(a=b\) 的时候， \(arctan(b/a)=arctan(1)=45°\) 。
写成严谨的形式叫 \(Re(5+5i)=Im(5+5i)\) ，其中 \(Re/Im\) 表示取一个复数的实/虚部。
注意，我们只关心角度，并不关心模长，多少都无所谓。
用 \(a+bi\) 这种方法来表示角，本质不同的其实是 \(b/a\) 这个值，所以我们说“模长多少不重要”，但 \(a,b\) 的比值很重要，因为这直接决定了角度大小。
这样，我们就可以非常方便的处理角的加减问题。
二
接下来我们思考，减怎么做？
就比如我们有一个角是 \((a,b)\) ，要减去一个角 \((c,d)\) 。
“减”相当于“除”，我们当然可以解方程求出它的逆，但这样有点麻烦，我们来想想有没有更简单的方法。
Hint：我们只关心角度，并不关心模长，多少都无所谓。
实际上，我们乘一个 \((c,-d)\) 就行了，可以想象一下这个“向下翻”的过程，就相当于是角度相减了。
我们也许可以试试想象一下那个东西转起来的图，就拿上面那个 \((2,1)\times(3,1)\) 举例子吧。
这里存在着另一个理解，把乘以复数 \(a+bi\) 的过程，看成是一步“变换”。
（其实我们确实可以把它写成一个矩阵，此处略。）
两个复数乘起来，即 \((a+bi)\times(c+di)\) ，就相当于先变换一下，然后在原来变换的基础上再变换一下。
我们注意到复数的那个 \(k\times e^{ia}\) 的形式，那您可以把它的变换看成：
- 模长 \(\times k\)
- 角度 \(+a\)
这两个东西乘起来，就是模长 \(\times k_1k_2\) ，角度 \(+(a_1+a_2)\) ，就实现了角度加。
然后，我们考虑 \(\times(c,-d)\) ，而 \((c-di)\) 相当于 \((1+0i)(c-di)\) ，它把向量 \((1,0)\) 变成了 \((c,-d)\) 。
我们注意到它的角度是负的，所以可以通过 \(\times(c,-d)\) 的办法实现角度相减。
三
有这样一个例题，有一个正方形 \(ABCD\)，它的边长为 \(4\) ，显然 \(A,B,C,D\) 按顺时针排列。
有一点 \(E\) 在 \(CD\) 上，\(DE=1\) ，把 \(\bigtriangleup AED\) 沿 \(AE\) 折叠，设 \(D\) 点落在 \(D'\) 位置，求 \(\tan\angle D'EC\) 。
（抱歉这里没有图，请读者自行画图并尝试。）
Sol1
这个解法是zps的亲手写的，供读者参考。
Sol2
这个解法是我第一时间想到的一个歪解，与本文内容无关。
我们只需要利用一下反三角函数就可以做本题了（逃）。
Sol3
本题的正解其实只需要初中知识，即只要过点 \(D'\) 作 \(PQ\parallel AD\) ，然后 \(K\) 型相似即可。
（不知道为什么， \(LaTeX\) 的平行打出来是竖着的）
鸣谢
感谢zps妹妹的帮助/qq
