Visual Solution of 20250220

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Graph

Sum

Path

最小化

$$\sum x_i$$

满足约束

$$\sum _{e\in P}{x}_e+w_e\ge c+d$$

$d$ 是最短路

---

化为标准型

最大化

$$\sum -x_i$$

满足约束

$$\sum _{e\in P}-x_e\le \sum _{e\in P}{w}_e-c-d$$

---

对偶

最小化

$$\sum _P(\sum _{e\in P}{w}_e-c-d)y_P$$

满足约束

$$e:\sum _P-[\mathbf{\text{edge }}e\text{ is in }P]y_P\ge -1$$

---

化为标准型

最大化

$$\sum _P(c+d-\sum _{e\in P}{w}_e)y_P$$

满足约束

$$e:\sum _P[\mathbf{\text{edge }}e\text{ is in }P]y_P\le 1$$

---

另一种建模，可以直接用单纯刑法，加上 Subtask1 可得到 70pts：

最小化

$$\sum x_i$$

满足约束

$$(u,v):d[v]\le d[u]+w(u,v)+x_i$$

$$d[1]=0$$

$$d[n]\ge c+d$$