考试总结 2024Oct-Nov

考试总结 2024Oct-Nov

前言：太懒了，不想每次都单独写。

$\text{EZ}$ 表示简单，10分钟内就能想到。
$\text{HD}$ 表示中等，能独立想出
$\text{IN}$ 表示困难，独立思考能想到 $50\mathrm{\%}$ 以上
$\text{AT}$ 表示非常困难，独立思考只能想出 $50\mathrm{\%}$ 以下

题目按作者的主观难度排名。

20241024

• T1 $\text{EZ}$ 小清新hash题

• T3 ${\text{EZ}}^{+}$ 直接折半搜索就好了，考场想到折半，但是没有细想，因为 T1 耗时过久，如果是正式赛加 30min 肯定能出来

• T2 $\text{HD}$ 已经转化为背包，一个十分重要的提示，如果某一个问题已经转化为背包，那么就不可能有多项式的优化，只可能是减小值域，因为这是一个 NP-Hard 问题 。本题就是需要注意一个答案的范围。

• T4 ${\text{HD}}^{+}$ 一个巧妙的答案转化，得到结论。但是我打表打出了错误结论，这是为什么呢，因为我没有把所有方案都输出，只输出了其中一个最优的结果就是最后一个，结果以为是逆序，如果都输出就会发现其实基本上全是一样的，而只有一种特殊情况会出错。

总结：还是比较成功，但是 T1 做太久而且缺 30min 导致每一题都很有思路（基本只差最后一步那种）结果每一题都没 A 出来。

20241105

• T1 ${\text{EZ}}^{+}$ 整除分块+卡常。值得注意的是猜了很长时间的整除分块公式（T=1h，猜出来了），对状态影响非常大，下次不应该再犯，应该推导，其实十分简单，被之前讲师讲的什么基本和组给蒙了

  $$\begin{array}{rl}& \lceil \frac{n}{i}\rceil =m\\ ⟺& i(m-1)<n\le im\\ ⟺& \lceil \frac{n}{m}\rceil \le i\le \lceil \frac{n}{m-1}\rceil -1\end{array}$$

  注意右界本身就是取不到的

• T2 $\text{HD}$ 计数dp+卡常。写出正确的方程，但是卡常没完全卡完，还有一个可行性剪枝没有加，加完之后总和计算量正确。

  正解是倍增

• T3 $\text{HD}$ 如果会李超线段树，比 T2 还简单

• T4 没看

20241107

• T1 ${\text{HD}}^{-}$ 哪个 duliu 第一题放这个，性质注意到了，后面的贪心错了。

• 【MARK】T2 $\text{IN}$ 非常巧妙的概率 DP，不知道这种转换怎么做出的

• T3 $\text{HD}$ 大模拟，难写

• T4 -26min 的时候改题，根本没看。

20241108

• T1 $\text{EZ}$ 可给每一行打一个标记，维护这是原来的第几行/列

• T2 ${\text{HD}}^{-}$

  请出我们今天的降秩时刻（play了2h被制裁了）：

  完全是错误的，注意到链长至多 3，但是误以为算出范围之后直接枚举就不会互相影响了，实际上是错误的，例如

显然 $1$ 的可选集合是 $\{2,3\}$ 而 $3$ 的可选集合是 $\{1,2\}$

但是，$3$ 的 $2$ 只能在 $1$ 取 $3$ 的时候取到。

所以直接枚举值是错的。应该确定 $a,b,c,d$ 的取值之后再检验。

那么检验就是给每一个点分配一个权值。这个图很简单，链长最长为 3，所以链头填 3，链尾填 1 肯定可以，$O(n)$ 对 $a,b,c,d$ 检验一下即可。

爆搜剪枝跑 $80\mathrm{\%}$，难泵。

就这也能过大样例？？？

• T3

20241112

• T1 $\text{HD}$ 贪心

• T2 $\text{IN}$ std 用了广义串并联图，考虑 Grimgod 的一种新想法：

  注意树的情况是可以直接推的，考虑点双缩点，这个时候：

  钦定一个点作为根，在缩点后的树上 DFS，对于每一个点双，暴力枚举其中度大于等于 $3$ 的点的颜色并判定，其余度小于等于 $2$ 的点显然有解。

  对于与这个点双儿子连接的内部点，如果它选了颜色 $c$，那么就禁止儿子与当前点双连接的内部点使用颜色 $c$。

  可以说明，如果只禁止一个点使用一种颜色 $c$ ，那么不会对答案产生影响，因为如果存在一种方案使得这个点使用了颜色 $c$，那么只需要把颜色依次轮换一位 $1\to 2,2\to 3,3\to 1$ 就能够获得合法的方案。

  考虑一个点双内度大于 $3$ 的点的个数，满的构造一定是在满二叉树上进行的，可转化为覆盖问题，如果一个中间的点要贡献，则它两个儿子里面都有一个被连接的点，考虑叶子最少也有 $\mathcal{O}(n)$ 个两两连一个则需要 $\frac{n}{2}=k$ 条边，即 $\mathcal{O}(3^{2n})$

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  UPD 考场上被否决的想法差不多是正解，现在考虑差在哪里：

  因为主要是枚举之后怎么确定其他的点，这一点感觉还是不好做，因为题解是广义串并联图。

  还有本题搜索剪枝可过，其他乱搞也有较高正确性（就我的似了是吧）

  UPD 除了上面的做法，其他做法已经被 HACK，这个玩意拿 55 就不错了。。

• T3 ${\text{HD}}^{++}$ 差一点点，注意到树高和树的个数是不超过 $\log$ 的，但是没有予以重视，在考虑更新 DP 值的时候以为只能 DDP，没有考虑暴力跳父亲，也考虑到了扫描线，但是没有考虑到删除左端点就是删除根，最后一步优化还是容易做出的。

• T4 $\text{AT}$ 由于笛卡尔树随机时高度期望 $\log n$ ，证明考虑 Treap 的复杂度正确性。倒着做相当于每次删除根，可以用 FHQ-Treap 的方式合并，随机情况下复杂度是正确的。

  正解很麻烦。赛事拿 50 加一个玄学就可以了。

• 总结：比较满意，挂了一点分主要在 T3

20241113

orz 又被暴力艹飞天了……乱搞竟然能 AK 你敢信？？

对于 100% 的数据，满足数据是随机造的。我们称之为 Door 造性

• T1 $\text{EZ}$ 终于有难度正常的 T1 了，祝贺！

20241120

• T1 这个随缘

• T2 注意树上的一些计数，尽量用简单的形式表示，太复杂了就考虑合并情况或者容斥掉，然后换根 DP 用父亲向儿子计算贡献的方式会简单地多。一般有两种方式表示贡献，可以用状态累加变量的方式，或者是总数减去子树的方式，第二种胜在简单，是处理无序的情况，第一种是处理有序的情况。一定要想什么情况可以合并！

• T3 是一个关于维护栈的问题，这种问题有一种考虑思路就是逐渐把栈转化成维护状态变量，然后逐渐把状态变量变成固定的，最后状态变量大概就只剩栈的大小，然后维护这个栈的大小的变化，然后问题大概就是关于这个的。

20241122

• T2 本题关键是奇偶性只要有一个可以改变奇偶性的选择，其他的怎么选择都不重要，所以可以优化状态

• T4 应该是简单题，再给时间能做，关键在如果想出按照每个询问维护，那么应该考虑把一个区间的最优性变成与询问无关的再维护

20241123

• T2 很可惜，如果做出 $\mathcal{O}(n{m}^3)$ 或者 $\mathcal{O}(n{m}^2)$ 的 dp，以及做了 B 性质，应该已经注意到重要性质，选定端点之后匹配是唯一的，但是没有转过弯的原因是这种状态设计花了很大代价来确保每个点对之间的偏序关系，但是我们可以用放端点的角度来看，这样保证每个点对的偏序关系就是保证每个前缀的个数关系，其实就类似括号匹配。

• T3 不是鸽门，带 $\log$ 的怎么过去了啊。