NOIP 计划 R15

NOIP 计划 R15

$\text{EZ}$ 表示简单，10分钟内就能想到。
$\text{HD}$ 表示中等，能独立想出
$\text{IN}$ 表示困难，独立思考能想到 $50\mathrm{\%}$ 以上
$\text{AT}$ 表示非常困难，独立思考只能想出 $50\mathrm{\%}$ 以下

Overview

$\text{HD}$

$340/400\text{pts}$ Very Good!

T1 railway

$\text{EZ}$

考虑分三种情况讨论，题目条件等于一部分点可以花费 2 的代价传送：

• 第一种是不经过可变边

• 第二种是要花 2 的时间传送
  性质：只可能传送一次

• 第三种是要经过菊花的中心点，
  考虑是 1---固定端a 的最小+1+n---菊花中心（不经过菊花边，否则等价于情况 2）
  或者是 n---固定端b 的最小+1+1---菊花中心

T2 recipe

$\text{EZ}$

直接猜结论，先按 $c$ 排序，然后依次插入线性基，如果能够成功插入就累加答案。

T3 cross

${\text{IN}}^{-}$

离正解最近的一次

---

考虑求每一条边的贡献系数，长下面这样：

对每一条边都是一样的，不同的只是关于他们在区间中的位置。

接下来有两种本质相同的状态设计方法，两种都可以互相推导，也都可以导出最后的结论：

一种是直接按照题目中的 dist 来设计，考虑容斥，有转移：

$$dist(l,r)=2dist(l+1,r)+2dist(l,r-1)-2dist(l+1,r-1)$$

另一种是，设一条边左边有 $i$ 个点，右边有 $j$ 个点时的贡献为 $f(i,j)$，转移是相同的，或者设第 i 行第 j 个贡献系数是多少，也是可以一样转移。

无论是哪种设的方式，我们都能够看出在一定长度之后，dist 或者 f 里面就会累积一定数量的 2，结合大样例以及模数，我们发现当询问的路径长度大于 $65$ 时，答案为 $0$ 。

结合第二种设贡献的方案，进行暴力即可。

另外，本题有一个特殊的性质，以下称能够转移到状态 $x$ 的状态为 $x$ 的子状态，区间 dp 时，长度相等的区间的子状态所构成的结构是相同的，故可以从最顶上向下反着推，取最上面若干层的答案（若询问的路径长度为 len 则应该取最上面 len 层的最下面一层）作为最终贡献系数，这是可以的。 （way.exe 的做法）