lg生成函数

生成函数

• 

考虑组合意义，即选 \(n\) 次每次选其中一个，选了 \(n_1\) 个 \(x_1\) 等等。

根据多重集排列数可得。

• 广义二项式系数

注：这就是用下降幂定义的好处！

注： \(x,y\) 有一定条件，但是在 OI 题目中不必考虑。

• 上指标反转

当上指标为负数的时候，这个式子可以把上指标变成正数。

直接展开容易证明

好玩的东西：多乘一个 \(\frac{1}{1-x}\) 可以做前缀和，乘 \((1-x)\) 可以做差分。

• 几个泰勒展开式

\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n \]

\[xe^x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n!}x^n \]

\[e^{Cx}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{Cn}{n!}x^n \]

\[\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n \]

注意：在 OI 中，暂且认为他们都成立。

• 

生成函数赋予我们操作多项式的能力。

• 普通型生成函数 OGF

• 例子1 选物品

当然可以考虑令 \(f(i,j)\to\) [int：第i个物品，int：已经选了j个物品|方案数]

不过我们若对每个物品构造 OGF

OGF卷积的组合意义：在每个括号里选一个合起来，其实就是枚举在其中一个对象中有几个

• P10780 BZOJ3028 食物 - 洛谷

处理一下所有的 OGF，答案显然为

\[{n+2\choose 3}=(n+2)(n+1)n/3! \]

• 指数型生成函数 EGF

关于乘上 \(i!\) 的用处：这样我们就默认乘上一个分配标号的组合数 \({i+j\choose i}\) 此时我们会合并序列……

• 问题3 方格涂色

显然应该对于红蓝两色构造指数型生成函数其中只包含偶数次项，对于绿色的保护所有 \(n\) 项，然后乘起来。

• 放球

• 求递推式的通项公式 Fib

令 \(F(x)=\sum f_ix^i\) ，有

\[F=\sum_{n=2}f_{n-1}x^n+\sum_{n=2}f_{n-2}x^n+1 \]

\[F(x)=\frac{1}{1-x-x^2}=(\frac{1}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}x-1}-\frac{1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1})\times\frac{1}{\sqrt{5}} \]

• 求 Catalan 数列的生成函数

• 还有别的组合意义吗？只能用乘法？？？

替换前面的 \(x\)

• 多项式求逆

那么存在

\[\sum_{i=0}^n A_iB_{n-i}=[n=0] \]

然后

• 多项式 ln/exp

\((x^a)'=ax^{a-1}\)

\((\ln x)'=\frac{1}x\)

\((e^x)'=e^x\)

先求导、按多项式乘法展开最后一项，然后得到递推式。

• 序列计数

对什么构建生成函数？应该注意其指数的含义。

设骨牌的生成函数，我们还不知道使用几个骨牌，于是要枚举，此时转化成封闭形式然后求逆。

• 基环树计数

  肯定有一个环，然后枚举环的大小，此时根据 Cayley 定理，有标号有根树有 \(n^{n-1}\) 个，然后导入 EGF 进行计算，但是要注意环可以翻转与旋转，这是不算的。

然后变成封闭形式求个 ln。