lg容斥与反演

容斥与反演

容斥

之前从没有搞清楚的：

容斥是一种方法，为了做到不重复计数，先算总和再去除重复的方法。

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所以我们可以计算任意具备一种性质的元素个数（并），通过计算“至少具备了某些元素的个数”（交）。

另一种形式：总数-不满足所有性质的元素=任意满足一种性质的元素

此时，不满足所有性质即可表示为 $\sum _S(-1{)}^{n-|S|}P(S)$ 其中 P(S) 表示满足 S 中所有性质的个数。

• 小星星 [ZJOI2016]：
• 朴素 dp：令 $f(i,j,S)\to$ [int:子树i，int:i映射到j，set:子树中的对应编号集合|的方案数]
• 考虑优化，寻找 dp 重复做了什么，哪些限制会导致复杂度高，可不可以不做
• 由于我们要避免重复映射，所以要存储子集。
• 所以考虑容斥解决这个问题
• 恰好不好满足，就可以转化为至少至多
• 

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1. $=$ 或 $\ne$
2. $min$ 或 $max$
3. 至少或至多
4. 其他限制难以计算的时候

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例子：用这个把他变成别的条件！

那么我们就希望，存在 $f_i$：

$$\sum _{i=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})f_i=a_m$$

那么可以递推求 $f$，则答案：

$$ans=\sum _{i=0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(n-i)!f_i$$

反演

• 本质

二项式反演

$$\begin{array}{rl}& g_n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})f_i\\ ⟺& f_n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(-1{)}^{n-i}{g}_i\end{array}$$

• 再探错排

令 $g_n$ 表示所有人随便站，$f_n$ 表示恰好 $n$ 个人站错的方案数。

那么 $g,f$ 满足上述 $(1)$ 式。可惜我们要求 $f_n$ 。

• 证明 （vfk）

考虑这个

$$f_n=\sum _{m=0}^n[n-m=0(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})f_m$$

正确性显然

$$\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=[n=0]$$

使用二项式定理展开 $(1-1{)}^n$ 可得，并代入

最后一个式子后面的求和即为 $g$

• 其他形式

常用限制放缩方法。比起容斥，这时我们不必推导容斥系数。

• P4859已经没有什么好害怕的了：

  

  

放松限制，允许有一定重复，这样就不错了。

子集反演

• 高维前缀和/子集和

实际上认为每一个二进制数的位是一个维度，取值0/1，即有 n 个维度的前缀和

• 一维前缀和：扫一遍

• 二维前缀和：先扫x再扫y

• 高维前缀和：一维一维扫

  

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$$\begin{array}{rl}& F[S]=\sum _{T\subset S}G[T]\\ ⟺& G[S]=\sum _{T\subset S}(-1{)}^{|S|-|T|}F[T]\end{array}$$

组合意义：若 F 是 G 的高维前缀和，则 G 是 F 的高维差分。

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• kosare

• Ribbons on Tree

min-max 反演

$$max\{S\}=\sum _{T\subset S}(-1{)}^{|T|+1}min\{T\}$$

$$\mathrm{kthmax}(S)=\sum _{T\subset S}(-1{)}^{|T|-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{|T|-1}{k-1})min(T)$$

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• 按位或：考虑时间问题使用 $\text{min-max}$ 容斥。将最大的时间戳变成最小的。

  只需高维前缀和。

斯特林反演

$$$$

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• 方阵

只有行列其中一个的限制很容易，考虑用这个计算答案。看作分成若干等价类，则存在Stirling 反演的式子。

• *异或图

容斥/反演掉连通图限制。即考虑 总共-不连通 $⟺$ 总共-多个连通块的

可枚举子集划分，每个子集随便连，这样就有若干连通块（大于等于子集划分个数的方案数）。

这就是至少的意义：