lg-dp3

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计数的东西有什么特点、转化/好的刻画方式

A Farthest City

题面关键信息：权值为1的最短路 --- bfs --- 分层

那么显然加一个点他只能与上一层连，和一层内部连。则设 $f_{i,j}$ 为 [点数，最后一层点数]

有

$$f_{i,j}=2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{2})}\sum _{k=1}^{i-j}{f}_{i-j,k}(2^k-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-[i\ne n]-(i-j)}{j})$$

B CSA ^[1]

题目关键信息：排列。等价于求数的拓扑序个数。

计数对象性质：父亲位置 < 儿子位置

则如果确定根 $r$ ，那么可以设 $f_x$ 为 $x$ 子树中的答案。

$$f_x=\sum _{y\in Son(x)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s{z}_x+s{z}_y-1}{s{z}_y})f_y$$

本题还有结论为 $\frac{n!}{\prod s{z}_x}$

C [AGC030D] Inversion Sum

计数对象性质：很好维护

其实你要不就是一直维护这个序列（整体来看），要不就是一对一对看。

那么变成概率，再变成期望就很自然了。所以现在我们要求 $f(i,j)=\mathbf{P}(a_i>a_j)$

考虑在交换的时候维护 $f$ 。

当然不转化可不可以做，是可以的，但是其实很像的。

1. 期望有线性性

2. 对概率的维护其实融合了所有的情况

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这个还是不不太好想，不看 TJ 就做不了了？

设方案数是很容易的想法，$f(i,j)$ [i位置，j位置：]

D Shopping

题目关键信息：买东西的点必须是连通块

淀粉质可以处理连通块，但是本题也可以按 dfn dp

E [CEOI2016] kangaroo

计数对象特征：波浪形的（wavy）；

排列要是波浪形的，最后一个要是 T，第一个要是 S。

考虑连续段 dp，本质上是我们按照某个顺序加数，只确定了相对顺序，然后按照某种方式刻画连续段来维护某种限制。

从小到大加入数，设 $f_{i,j}$ 表示 [当前加到i，有j段]

此时，有三种方案：

• 新开一段 $f_{i,j}=(j-[i>S]-[i>T])f_{i-1,j-1}$ （S前面和T后面不能插入段）

• 加在某一段前面/后面 非法（分类讨论一下可以证明）

• 合并两端 $f_{i,j}=j{f}_{i-1,j-1}$

F Tenzing and Random Operations

容易得到式子，但是没啥用，考虑组合意义

这个问题就更具有 dp 多层决策的特征。令 $f_{i,j}$ 表示 [走过 $1\to i$，已经用了 $j$ 个工具:此时的期望]。

那么：

• 不放置新的工具，直接走 $a_{i+1}{f}_{i,j}\to f_{i+1,j}$

• 用获得过的工具，$jv{f}_{i,j}\to f_{i+1,j}$

• 再放置一个工具（放在前面的任何一个位置的都可以拿到），$f_{i,j}\times \frac{i+1}{n}\times (m-j)\times v\to f_{i+1,j+1}$

G PERIODNI

由于原来这个表格是不规则的，这是不好处理的，考虑划分成若干矩形建笛卡尔树。

在一个小矩形内部的填数方案是容易处理的，对于列的限制，建一棵笛卡尔树，然后做树形 dp 处理。

H Distributing Integers

等价于前面 B 题 CSA

I #(subset sum = K) with Add and Erase

要求动态维护 K 的拆分数。只有加入是很简单的，如果存在删除，我们就强制从 $-x$ 转移。

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可撤销背包，多项式理解方法：

加一个----两项的多项式乘法，删一个----两项的多项式除法。

J [COCI2006-2007#3] BICIKLI

到达不了环就 dp，有环就分讨：

• 若环可以到达2 INF （取反图判断）

• 不可以就不必访问环

K [HNOI2019] 校园旅行

大boss BLACK

$30\mathrm{\%}$

$\mathcal{O}(m^2)$

$100\mathrm{\%}$

Hint: 缩减边的数量，使其与点数同级

现在考虑对于两边，我们要做的就是同色来连续子串对应长度相等。

考虑如何能做到。

从变化的角度看，其实对于一个同色联通块来说，它为连入的点提供的能力就在于：

1. 如果他是偶环，那么你可以无损地获得任何一个更大的、相同奇偶性连续段，然而如果在保证联通性的同时，即使只有一条边，也可以达到这个目的。

2. 如果他是奇环，那么你可以获得改变奇偶性的机会，你可以无损地到达任何一个更大的连续段，如果是这样，那么在保证连通性的时候，连续走一个自环也能达到相同的效果

所以我们可以根据上面的观察削减边数。

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1. 本题与下面 H 题等价。 ↩︎