树状数组 - 区间可加可拼凑的信息

I.综述&解释

树状数组，一听就知道是长得像树的数组。emm

其内部节点的长度都是2的整数次幂，用一个数组存储，这样做利用了“任意一个正整数都能被唯一分解为不同的若干二的次幂的和的形式”这个定理，从而可用若干节点之和拼凑成为一个整体，表示一个前缀区间的信息。

II.起源

树状数组最基础的用法是用于维护前缀和的。

不过如果只需要维护前缀信息，那么任意一个满足区间可加性的二元运算符均可。

它本质上还是一种分治、倍增的思想，其实只是借助2的性质进行信息分割，不过就因为以上定理（从0开始加），使其只能维护前缀信息。

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无关话题：

至于网上有人搞出的那些可维护区间最大值的树状数组，我认为实际上只是借了树状数组的名头在做分块罢了，其实读来有“有则用之，无则作罢”的感觉。现贴出博客链接Link

就比如它的修改操作：

void update(int position){
	int len_x;
	while(position<=n){
		len_x=lowbit(position);
		h[position]=a[position];
		
		for(int i=1;i<len_x;i<<=1){
			h[position]=max(h[position],h[position-i]);
		}
		
		position+=len_x;
	}
}

你仔细读，它实际上是在普通的修改过程中加了一次特殊的修改，这就意味着进行了以下操作：

看见了吗，它把每个受影响区间重构了！

这点，在OI-wiki上有解释：

事实上，对于不可差分信息，不存在通过 p 直接修改 c[y] 的方式。这是因为修改本身就相当于是把旧数从原区间「移除」，然后加入一个新数。「移除」时对区间信息的影响，相当于做「逆运算」，而不可差分信息不存在「逆运算」，所以无法直接修改 c[y]。

那么查询呢？

int query(int x, int y) {
    int ans=0;
    while(y>=x) {
        ans=max(ans,a[y]), --y;
        while(y-lowbit(y)>=x) {
            ans=max(ans,b[y]);
            y-=lowbit(y);
        }
    }
    return ans;
}

可以看到，这个查询就是这样的过程：

我们还是基于之前的思路，从 r 沿着 $\operatorname{lowbit}$ 一直向前跳，但是我们不能跳到 l 的左边。

因此，如果我们跳到了 $c[x]$，先判断下一次要跳到的$x - \operatorname{lowbit}(x)$ 是否小于 l：

如果小于 l，我们直接把 $\boldsymbol{a[x]}$ 单点 合并到总信息里，然后跳到$c[x - 1]$。 如果大于等于 l，说明没越界，正常合并$c[x]$，然后跳到 $c[x - \operatorname{lowbit}(x)]$即可。

所以我才说它是为了迎合条件有则用之，无则作罢

算法时间复杂度$\operatorname O(n \log^2 n)$劣于线段树

当然，这是因为其存储与索引方式的无奈之举，在我们讨论了线段树后就知道，线段树能更有效的对区间执行二进制划分

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对于有更多性质的运算，例如满足区间可减性的运算（e.g. +）还可以求区间。

它还能便捷地将区间修改转化为单点操作差分数组。

III.基本操作

• 单点修改（modify）

对修改的起点“向上”对所有包括它的父节点进行修改，这里利用了一个技巧，快速地找出它的父节点，即lowbit运算。因为实际上二进制表示下每一个1都是代表2的次幂，即一个区间的长度。

• 单点查询

对查询的节点“向下”（其实不准确，因为这些点不是包含关系的）累计答案。也借助lowbit运算。