动态规划总结目录

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I. 综述

动态规划，常常用以解决最优化或是计数问题。

动态规划更像分治思想，但是又有所不同。它将问题中几个关键的量抽离来代表一个子问题，这是建模（而这些量就是状态）。显然，这些子问题有一个已知答案的边界问题。然后按照一定的顺序遍历状态空间（由“子问题”构成的空间），从以前的子问题的结果推导出后面的子问题，这就称作“转移”。

这也就是说，动态规划对子问题的遍历有一些顺序。比如要通过x子问题推导到y子问题，就要求x要先于y计算，之后，x子问题不能再被以后的子问题更新，就例如如果x转移到y，那么y不能再转移到x，这就是“无后效性”。按照这种顺序，我们可以把可以一起计算、相互之间不发生转移的几个问题划分在一起，这就叫“阶段”。我们决定从哪个子问题推出这个子问题的最优解，这个叫做“决策”。

但是，如果你很难将问题拆分为几个可以从前向后导出的子问题，无法保证由某几个子问题的最优解可以导出后面问题的最优解，或者说子问题的“重叠”很少,不具有可重复的求解过程，那么动态规划就不能使用或者无法提供优化。这两个性质，前者就是“最优子结构性质”，后者就是“子问题重叠性质”。

以上，我们谈到了动态规划的三个适用条件和三要素：

• 阶段、状态、决策

• 无后效性、最优子结构性质、子问题重叠性质

这些挺抽象的，反正作为一个蒟蒻，我初学的时候是不懂。不过现在我们可以为他画个图。

如图所示，DP的转移构成有向无环图，若A是初态，G是终态。

那么DP的阶段，就是按照拓扑排序分出的层。以上每一个点都是子问题（含有状态，也许还是多维的），每一条箭头都是合法的决策。无后效性，就是说这张图里不存在环。

因为这样的特性，所以动态规划和最短路问题有着较为密切的联系，而我们完全可以把动态规划的递推过程放置在SPFA算法上运行，这在后文中有所涉及。

而且，也因为这样的特性，树形动态规划常常都跟其根的选择有关系，稍后读者也会看到。

II. 索引

• 动态规划基础模型/分类

1. 线性DP

2. 背包DP

   • 0/1背包

   • 完全背包

   • 多重背包

   • 分组背包

3. 区间DP

4. 树形DP

   • 二次扫描与换根法

   • 有依赖的树形背包

5. 计数DP

6. 数位DP

• 动态规划优化

  • 基于状态优化

1. 状态压缩DP

2. 倍增优化DP

   • 基于计算优化

3. 数据结构优化DP

4. 单调队列优化DP

   • 单调队列优化多重背包

• 环形与后效性处理

• 例题解析