图论进阶总结 【第一部分 最短路和最小生成树】

图论进阶总结 【第一部分 最短路和最小生成树】

1.最短路

最短路其实是一个约束系统，这不太明显。但是我们要求一条最短的路径，首先思考如果可以将dist[x]更新dist[y]，显然要$dist[y]\ge dist[x]+edge(x\to y)$ ，那么只要使得所有的这种更新都进行完毕，就求出了最短路，即对于所有边都满足$dist[y]\le dist[x]+edge(x\to y)$。

好像这种方法关联了很多，因为这是一种”迭代“的思路，一种渐渐逼近目标的方法。

这是不同于递推的，递推只会有序地推一次。所以递推会快但是解决的问题会少。

所以联系到后面的差分约束，我们也发现这种迭代更加适合处理复杂的命题逻辑以及传递关系。

1.1 求解

对比

算法	Dijkstra	Dijkstra-Heap	Bellman-Ford	SPFA	Floyd
时间复杂度	$\operatorname O(N^2)$	$\operatorname O(M \log N)$	$\operatorname O(NM)$	$\operatorname O(kM)$(不稳定,但我认为不是错的)	$\operatorname O(N^3)$
思想	贪心选点	贪心选点/堆优化	迭代/松弛	迭代/队列优化避免无效扫描	动态规划

注：其中Floyd当然是全源最短路算法；其实我不很理解为什么有人喜欢在不论前提的情况下反对SPFA，因为它实际上在负权图上是现阶段最好的解决方案。否则你可能喜欢一篇论文，里面提了一个$\operatorname O(m \log^2(n) \log (nW)\log \log n)$ 还能处理负权的SSSP。

一些补充

• Dijkstra与它的贪心

《算法竞赛进阶指南》的初版上有一个错误：在最短路这一节的“最优贸易”这道题中，用于求从起点到达一个点经过的所有路径上点权最小/大的点时，lyd本写了Dijkstra，后来修订又把它改掉了。

所以为什么Dijkstra不可以处理这样的东西呢？

Dijkstra不会被卡、快于SPFA的基本原因是它采用贪心策略直接避免了重复更新，保证从堆中取出的时候就是最优的。但是这个问题有没有这样的性质？

没有，这是求一个路径上最值，并不是全局和最优，这就是说，在SSSP问题中当前已确定集合的“下一阶段点”中距离最小的点的最短路肯定确定，因为在非负权图上再绕一定不可能得到更优的答案了。但是路径最值就不一定了，后面的点权即使非负，你也不能保证他们带来的最后答案的变化是单调的。

有得必有失。什么都一样。

• Floyd的动规

当然，原先Floyd的状态设计有必要一提：$F[i][j][k]$ 表示，经过前k个点从i到j的最短路。

后来把k压掉了。但是这并不妨碍它成为阶段，必须放在最外层循环。

• SPFA：再算一遍

考虑SPFA发现点还能更新的过程：一旦又被更新，无论它之前有没有拿来扩展别的点，都要重新入队，再次尝试更新。

这就是SPFA可以处理复杂问题的逻辑。很遗憾，这也导致了它容易被卡这个问题。

鱼和熊掌不可得兼。追求平衡与适用才是最好选择。

2.最小生成树

最小生成树有一个比较重要的性质：最小生成树一定包含图中边权最小的边。

这可以使用反证法证明。他的意义是，我们可以根据这个对最小生成树进行变换。

算法过程继续跳过，只是对比以下：

算法	Kruskal	Prim
时间复杂度	$\operatorname O(m \log m)$	$\operatorname O(n^2)$ 优化后 $\operatorname O(m \log n)$
思想	贪心选边/并查集维护连通性	贪心选点/堆优化

3.例题

• P1948 [USACO08JAN] Telephone Lines S 分层图最短路

前述DP章节也提到了这道题，上面1部分的论述讨论了递推与迭代。本题如果使用DP，会带有后效性，使用迭代的方法就可以计算这个结果。

作为图论的角度理解，这个题目由于需要保存已经使用的免费次数，所以将每一个节点拆成k个来”扩展一维状态“。在这种图上求最短路，称其为分层图最短路。

• P1347 排序 传递闭包

显然若A<B and B<C则A<C，这就是传递性。

传递闭包又是Floyd算法的一大应用，其目的是通过现有关系尽可能运用传递性推出更多的关系。

• P2886 [USACO07NOV] Cow Relays G 贪心/比较广义的矩阵快速幂

可以发现，N是特别大的，但是T是很小的。

所以考虑先求出最短路然后再在最短的一条边上来回移动。这是贪心。

当然，这题DP意味是浓重的，如果获得了从i->k经过p条的最短路和从k->j经过q条的最短路

那么就可以获得从i->j经过p+q条的最短路。如何合并呢？考虑枚举矩阵里的内容然后取min。然后又注意到如果合并经过p条和经过q条的矩阵得到p+q，那么矩阵快速幂就显而易见了。

只要有某种方法合并两个矩阵使得阶段信息是这种“和/积变换”的，都可以矩阵快速幂优化。

• 346. 走廊泼水节 - AcWing题库 Kruskal思想的拓展

Kruskal算法的思想即贪心，如果题目需要求满足特殊条件的MST，不妨先满足条件，再贪心地进行调整。

本题不是求特殊的MST，但是要求由MST生成完全图，所以只需要简单地保证MST上边的最小性即可。

• 349. 黑暗城堡 - AcWing题库 Prim选点的应用

求的是最小路径生成树。由近到远依次考虑每一个点，看看有哪些点满足连接条件。

这种要求点满足特殊关系的生成树问题，可以考虑按照Prim的思路去选点求。

• P3106 [USACO14OPEN] Dueling GPSs S 反向建图

注意到如果一条边(u,v)不在从u到n的最短路径上的话就会被警告，然后可以将这条边的边权转化为走这条边受到警告的次数。

可是如果求每个u->n的最短路径耗时太长，对于终点比较少的这种问题，建立反图可以将终点化起点。