Matlab网格划分
之前转载了一篇博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_6163bdeb0102dvay.html，讲Matlab网格划分程序Distmesh，看了看程序，感觉程序写得有很多值得学的地方，所以又自己重新看了一看，加了一些注释，最后再总结一下学到的东西吧。
源代码的地址已经改变，如下http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/distmesh/distmesh.html。程序给出了20个划分的例子，文件名为p1_demo.m~p20_demo.m，直接运行程序可以看到划分的动画效果，每个例子基本都是设置一些参数，然后调用distmesh_2d函数进行网格划分，最后得到划分的节点p和各三角形t，最后将划分的三角形绘制出来。划分结果如下
p1_demo p14_demo
p5_demo p18_demo
进一步加注释的程序（需要学习的地方用颜色标记）：
function [ p, t ] = distmesh_2d ( fd, fh, h0, box, iteration_max, pfix, varargin )
%% DISTMESH_2D is a 2D mesh generator using distance functions.
% Example:
% Uniform Mesh on Unit Circle:
% fd = inline('sqrt(sum(p.^2,2))-1','p');
% [p,t] = distmesh_2d(fd,@huniform,0.2,[-1,-1;1,1],100,[]);
% Rectangle with circular hole, refined at circle boundary:
% fd = inline('ddiff(drectangle(p,-1,1,-1,1),dcircle(p,0,0,0.5))','p');
% fh = inline('min(4*sqrt(sum(p.^2,2))-1,2)','p');
% [p,t] = distmesh_2d(fd,fh,0.05,[-1,-1;1,1],500,[-1,-1;-1,1;1,-1;1,1]);
% Parameters:
% Input, function FD, signed distance function d(x,y).
% fd:d=fd(p)，p=[x y],fd为给定任一点到边界的有符号距离函数，负号表示在区域内，正号为在区域外
% Input, function FH, scaled edge length function h(x,y).
% fh:就是网格大小的函数
% Input, real H0, the initial edge length.
% h0:也就是h, 网格的初始大小
% Input, real BOX(2,2), the bounding box [xmin,ymin; xmax,ymax].
% box:最大外围矩形范围
% Input, integer ITERATION_MAX, the maximum number of iterations.
% The iteration might terminate sooner than this limit, if the program decides
% that the mesh has converged.
% iteration_max:允许的最大迭代次数
% Input, real PFIX(NFIX,2), the fixed node positions.
% pfix：网格中需要固定的点坐标，也就是一定需要出现在网格中的点
% Input, VARARGIN, aditional parameters passed to FD and FH.%
% Output, real P(N,2), the node positions.
% p:网格点的x,y坐标
% Output, integer T(NT,3), the triangle indices.
% t:输出网格任意一个三角形的三个顶点
% Local parameters:
% Local, real GEPS, a tolerance for determining whether a point is "almost" inside
% the region. Setting GEPS = 0 makes this an exact test. The program currently
% sets it to 0.001 * H0, that is, a very small multiple of the desired side length
% of a triangle. GEPS is also used to determine whether a triangle falls inside
% or outside the region. In this case, the test is a little tighter. The centroid
% PMID is required to satisfy FD ( PMID ) <= -GEPS.
% 局部变量geps：容忍度，一个点是否属于区域，也在判断三角形是否属于区域内时使用
dptol = 0.001; % 收敛精度
ttol = 0.1; % 三角形划分精度（百分比）
Fscale = 1.2; % 放大比例
deltat = 0.2; % 相当于柔度
geps = 0.001 * h0; % 容忍度
deps = sqrt ( eps ) * h0; % 微小变化dx
iteration = 0; % 迭代次数
triangulation_count = 0; % 三角形划分次数
% 1. Create the initial point distribution by generating a rectangular mesh
% in the bounding box.
% 根据初始网格的大小h0，先把能涵盖欲划分区域的最大矩形划分为结构网格。
[ x, y ] = meshgrid ( box(1,1) : h0 : box(2,1), ...
box(1,2) : h0*sqrt(3)/2 : box(2,2) );
% Shift the even rows of the mesh to create a "perfect" mesh of equilateral triangles.
% Store the X and Y coordinates together as our first estimate of "P", the mesh points
% we want.
% 然后把偶数行的点整体向右平移半格，得到正三角形划分
x(2:2:end,:) = x(2:2:end,:) + h0 / 2;
p = [ x(:), y(:) ];
% 2. Remove mesh points that are outside the region,
% then satisfy the density constraint.
% Keep only points inside (or almost inside) the region, that is, FD(P) < GEPS.
% 根据fd的函数定义，移除边界外的点
p = p( feval_r( fd, p, varargin{:} ) <= geps, : ); % 1
% Set R0, the relative probability to keep a point, based on the mesh density function.
r0 = 1 ./ feval_r( fh, p, varargin{:} ).^2;
% Apply the rejection method to thin out points according to the density.
% 根据网格密度函数fh，每个点上产生一个0-1随机数，判断是否小于r0/max(r0)大于的话，该点被删除
p = [ pfix; p(rand(size(p,1),1) < r0 ./ max ( r0 ),: ) ];
[ nfix, dummy ] = size ( pfix );
% Especially when the user has included fixed points, we may have a few
% duplicates. Get rid of any you spot.
% 当指定了某些点要保留的时候，把保留的点加入，删除重复的点。
p = unique ( p, 'rows' ); % 2
N = size ( p, 1 );
% If ITERATION_MAX is 0, we're almost done.
% For just this case, do the triangulation, then exit.
% Setting ITERATION_MAX to 0 means that we can see the initial mesh
% before any of the improvements have been made.
% 如果最大迭代次数为负，则直接结束
if ( iteration_max <= 0 )
t = delaunayn ( p ); % 3
triangulation_count = triangulation_count + 1;
return
end
pold = inf; % 第一次迭代前设置旧的点的坐标为无穷
while ( iteration < iteration_max )
iteration = iteration + 1;
if ( mod ( iteration, 10 ) == 0 )
fprintf ( 1, ' %d iterations,', iteration );
fprintf ( 1, ' %d triangulations.\n', triangulation_count );
end
% 3. Retriangulation by the Delaunay algorithm.
% Was there large enough movement to retriangulate?
% If so, save the current positions, get the list of
% Delaunay triangles, compute the centroids, and keep
% the interior triangles (whose centroids are within the region).
%
% 先判断上次移动后的点和旧的点之间的移动距离，如果小于某个阀值，停止迭代
if ( ttol < max ( sqrt ( sum ( ( p - pold ).^2, 2 ) ) / h0 ) )
pold = p; % 如果还可以移动，保存当前的节点
t = delaunayn ( p ); % 利用delauny算法，生成三角形网格
triangulation_count = triangulation_count + 1; % 划分次数加1
pmid = ( p(t(:,1),:) + p(t(:,2),:) + p(t(:,3),:) ) / 3; % 计算三角形的重心
t = t( feval_r( fd, pmid, varargin{:} ) <= -geps, : ); % 移除重心在区域外的三角形
% 4. Describe each bar by a unique pair of nodes.
% 生成网格的边的集合，也就是相邻点之间连接的线段
bars = [ t(:,[1,2]); t(:,[1,3]); t(:,[2,3]) ];
bars = unique ( sort ( bars, 2 ), 'rows' );
% 5. Graphical output of the current mesh
trimesh ( t, p(:,1), p(:,2), zeros(N,1) ) % 绘制划分的三角形% 3
view(2), axis equal, axis off, drawnow
end
% 6. Move mesh points based on bar lengths L and forces F
% Make a list of the bar vectors and lengths.
% Set L0 to the desired lengths, F to the scalar bar forces,
% and FVEC to the x, y components of the bar forces.
% At the fixed positions, reset the force to 0.
barvec = p(bars(:,1),:) - p(bars(:,2),:); % 生成bar的矢量
L = sqrt ( sum ( barvec.^2, 2 ) ); % 计算bar的长度
% 根据每个bar的中点坐标，计算需要的三角形边的边长（这个在fh函数里控制）
hbars = feval_r( fh, (p(bars(:,1),:)+p(bars(:,2),:))/2, varargin{:} );
% 计算需要的bar的长度，已经乘上了两个scale参数 Fscale, sqrt ( sum(L.^2) / sum(hbars.^2) );
% 具体可参考他们的paper
L0 = hbars * Fscale * sqrt ( sum(L.^2) / sum(hbars.^2) );
% 计算每个bar上力
F = max ( L0 - L, 0 );
% bar上力的分量，x,y方向
Fvec = F ./ L * [1,1] .* barvec;
% 计算Ftot， 每个节点上力的残量
Ftot = full ( sparse(bars(:,[1,1,2,2]),ones(size(F))*[1,2,1,2],[Fvec,-Fvec],N,2) );
% 对于固定点，力的残量为零
Ftot(1:size(pfix,1),:) = 0;
% 根据每个节点上的受力，移动该点
p = p + deltat * Ftot;
% 7. Bring outside points back to the boundary
% Use the numerical gradient of FD to project points back to the boundary.
d = feval_r( fd, p, varargin{:} ); % 计算点到边界距离
ix = d > 0;
% 计算移动梯度，相对边界
dgradx = ( feval_r(fd,[p(ix,1)+deps,p(ix,2)],varargin{:}) - d(ix) ) / deps; % 4
dgrady = ( feval_r(fd,[p(ix,1),p(ix,2)+deps],varargin{:}) - d(ix) ) / deps;
% 将这些移动到边界外的投射回边界上
p(ix,:) = p(ix,:) - [ d(ix) .* dgradx, d(ix) .* dgrady ];
% I needed the following modification to force the fixed points to stay.
% Otherwise, they can drift outside the region and be lost.
% 修正，以免一些点移到区域外而丢失
p(1:nfix,1:2) = pfix;
N = size ( p, 1 );
% 8. Termination criterion: All interior nodes move less than dptol (scaled)
if ( max ( sqrt ( sum ( deltat * Ftot ( d < -geps,:).^2, 2 ) ) / h0 ) < dptol )
break;
end
end
end
值得学习的地方：
1.feval_r(fd, p, varargin{:})
这相当于是回调函数的用法，将某些完成特定功能的函数作为输入参数传递进来，需要实现某些功能时则调用此函数，这样当想改变特定功能时，直接改变传进来的函数句柄就可以了。而且完成特定功能的函数的额外参数可以由varargin传入。
2.unique ( p, 'rows' );
unique函数属于时间序列分析中的功能，最近借了一本书正好看到，时间序列有一些列处理方法函数，可以很方便的处理作为时间序列的向量。
3.delaunayn 、trimesh
这是涉及三角形划分的matlab功能，感觉挺使用的。一方面，有限元方法需要网格划分，有这些函数，如虎添翼，另外在matlab实现三维的类似OpenGL的显示、操作等，使用patch最方便了，而patch最方便的使用方法是传入点和面，而如何构造点和面呢，这里给出了很好的答案。
4.deps = sqrt ( eps ) * h0; % 微小变化dx
dgradx = ( feval_r(fd,[p(ix,1)+deps,p(ix,2)],varargin{:}) - d(ix) ) / deps;
这个相当于是求函数微分、梯度，本来matlab函数传入的量是离散的，感觉顶多求差分，突然发现这种想法太简单了，函数的定义域是连续的，连续的就可以求微分，这里提供了一种很好方法。
这也提供了一种很好的提示，以前一直拿c、c++的编程思想用matlab，现在发现使用matlab的更有效率的方法是使用数学函数的思想，matlab的函数不是c、c++中响应函数的那个函数，而是定义在实数域上的数学函数，用来处理各种数学问题。也可能是之前理解c、c++中的函数就应该用这种思想吧！
此程序中就实现了各种数学意义上的计算，如求点到线的距离、求梯度、算分量等，看了这个程序，才感觉matlab确实是数学的语言工具。
