Leetcode 793. Preimage Size of Factorial Zeroes Function

Problem:

Let f(x) be the number of zeroes at the end of x!. (Recall that x! = 1 * 2 * 3 * ... * x, and by convention, 0! = 1.)

For example, f(3) = 0 because 3! = 6 has no zeroes at the end, while f(11) = 2 because 11! = 39916800 has 2 zeroes at the end. Given K, find how many non-negative integers x have the property that f(x) = K.

Example 1:
Input: K = 0
Output: 5
Explanation: 0!, 1!, 2!, 3!, and 4! end with K = 0 zeroes.

Example 2:
Input: K = 5
Output: 0
Explanation: There is no x such that x! ends in K = 5 zeroes.

Note:

• K will be an integer in the range [0, 10^9].

Solution:

　　这道题很有意思，要求我们找出所有数字n的个数，使得n!结尾有K个0。看到这个问题，想到以前的非常规二分搜索方法，在结果可能的范围内查找满足条件的最小值，这里使用了Leetcode 172 Factorial Trailing Zeroes中的函数，然后在getMinimal函数中找到结尾有K个0的最小值，然后getMinimal(K+1)-getMinimal(K)即可。

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        int count_five = 0;  
        while(n > 0){  
            int k = n/5;  
            count_five += k;  
            n = k;  
        }  
        return count_five;    
    }
    int getMinimal(int K){
        int start = 0;
        int end = INT_MAX;
        while(start < end){
            int pivot = start+(end-start)/2;
            if(trailingZeroes(pivot) < K)
                start = pivot+1;
            else
                end = pivot;
        }
        return start;
    }
    int preimageSizeFZF(int K) {
        return getMinimal(K+1)-getMinimal(K);
    }
};

　　然而这个算法却不能通过最后一个测试10^9，原因是结尾有10^9个0的最小值n！，其n已经大于INT_MAX了，当然我们可以修改二分搜索范围，使用int64_t类型即可AC并击败100.00%的提交，代码如下

class Solution {
public:
    int64_t trailingZeroes(int64_t n) {
        int64_t count_five = 0;  
        while(n > 0){  
            int64_t k = n/5;  
            count_five += k;  
            n = k;  
        }  
        return count_five;    
    }
    int64_t getMinimal(int64_t K){
        int64_t start = 0;
        int64_t end = (int64_t)2*INT_MAX;
        while(start < end){
            int64_t pivot = start+(end-start)/2;
            if(trailingZeroes(pivot) < K)
                start = pivot+1;
            else
                end = pivot;
        }
        return start;
    }
    int64_t preimageSizeFZF(int64_t K) {25         return getMinimal(K+1)-getMinimal(K);
    }
};

　　但是这样做未免有投机取巧之嫌，因此我们采用另一种更好的方法，不过这种方法需要一定的观察，我们发现，如果存在n使得n!末尾有K个0,那么答案必然是5（比如K为1,那么5,6,7,8,9均可，当n为10则会引入新的质因数5导致末尾有2个0）,如果根本不存在这样的n，那么结果是0,因此答案只有0和5两种可能。现在问题在于如果存在这样的n，n会在什么范围内。n的下限必然为K（观察可知末尾0的数量必然小于等于n），n的上限可以是5*(K+1)（观察可知末尾有K个0的最大值必然小于等于5(K+1)，可以用上面的getMinimal验证），因此在这个范围内二分搜索即可，就K=1为例，一旦搜索到5,6,7,8,9中的任意值都可以直接返回，搜索结束还没有找到满足条件的值则返回0.注意即使是这种方法仍然无法避免整形溢出问题，但明显比上面那种无脑二分的方法合理。

　　ps:这道题还可以用直接找规律的方法解答，但作为一道算法题，不建议用这种纯观察的方法做。解答在这里

Code:

 

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int64_t n) {
        int64_t count_five = 0;  
        while(n > 0){  
            int64_t k = n/5;  
            count_five += k;  
            n = k;  
        }  
        return count_five;    
    }
    int preimageSizeFZF(int K) {
        int64_t start = K;
        int64_t end = (int64_t)5*(K+1);
        while (start < end) {
            int64_t pivot = start+(end-start)/2;
            int count = trailingZeroes(pivot);
            if (count == K) 
                return 5;
            else if (count < K) 
                start = pivot + 1;
            else 
                end = pivot;
        }
        return 0;
    }
};