LCS问题
基本思想：
最长递增子序列问题原本是动态规划的经典问题，由于这个问题太经典了，所以我把它单独列在基本算法中。最简单的方法是动态规划，用一个数组dp[i]表示以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度，对于每个dp[i]，遍历dp[k](k<i)，在所有nums[k] < nums[i]的元素中找到最大的dp[k]加1就是dp[i]，时间复杂度为O(n2)。
1 class Solution { 2 public: 3 int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { 4 if(nums.size() == 0) return 0; 5 vector<int> dp(nums.size(),1); 6 for(int i = 1;i != nums.size();++i){ 7 for(int j = 0;j != i;++j){ 8 if(nums[i] > nums[j]) 9 dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1); 10 } 11 } 12 int result = 0; 13 for(int i = 0;i != dp.size();++i) 14 result = max(result,dp[i]); 15 return result; 16 } 17 };
当然如果只是这种解法的话我也不写这篇随笔了，这道题还有一种O(nlogn）的解法，以Leetcode 300的例子为例，给一个数组[10,9,2,5,3,7,101,18]，我们维护一个lastelem数组，lastelem[i]=t表示长度为i+1的子序列的第i个元素的最小值为t。有点抽象，那就模拟一下这个例子的解答。
1. [10,9,2,5,3,7,101,18]
^
lastelem = [10]
2. [10,9,2,5,3,7,101,18]
^
lastelem = [9] //找到地一个比9大的数将其替换为9
3. [10,9,2,5,3,7,101,18]
^
lastelem = [2] //同上
4. [10,9,2,5,3,7,101,18]
^
lastelem = [2，5] //若5比最后一个数大，新填一个元素
5. [10,9,2,5,3,7,101,18]
^
lastelem = [2，3] //同第二步
6. [10,9,2,5,3,7,101,18]
^
lastelem = [2，3，7] //同第四步
7. [10,9,2,5,3,7,101,18]
^
lastelem = [2，3，7，101] //同第四步
8. [10,9,2,5,3,7,101,18]
^
lastelem = [2，3，7，18] //同第二步
所以最终最长子序列的长度为lastelem数组的长度，即4，寻找第一个比nums[i]大的数可以用二分法，所以时间复杂度为O(nlogn). 此题是Leetcode 300原题，因为是基础题型，所以不再写博客解释了。
1 class Solution { 2 public: 3 int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { 4 vector<int> lastelem; 5 for(int i = 0;i != nums.size();++i){ 6 if(lastelem.empty() || nums[i] > lastelem.back()) 7 lastelem.push_back(nums[i]); 8 else{ 9 int start = 0; 10 int end = lastelem.size()-1; 11 while(start < end){ 12 int pivot = start + (end-start)/2; 13 if(lastelem[pivot] < nums[i]) 14 start = pivot+1; 15 else 16 end = pivot; 17 } 18 lastelem[start] = nums[i]; 19 } 20 } 21 return lastelem.size(); 22 } 23 };
