Leetcode 410. Split Array Largest Sum

Problem:

 

Given an array which consists of non-negative integers and an integer m, you can split the array into m non-empty continuous subarrays. Write an algorithm to minimize the largest sum among these m subarrays.

 

Note:
If n is the length of array, assume the following constraints are satisfied:

 

• 1 ≤ n ≤ 1000
• 1 ≤ m ≤ min(50, n)

 

Examples:

 

Input:
nums = [7,2,5,10,8]
m = 2

Output:
18

Explanation:
There are four ways to split nums into two subarrays.
The best way is to split it into [7,2,5] and [10,8],
where the largest sum among the two subarrays is only 18.

 

Solution:

　　看到极小化极大值的问题，我的第一个想法就是动态规划，一般来说，这类极小化极大值或极大化极小值问题大概率都是用动态规划来做，而且还有一个特性，就是动态规划一般会把一维问题上升到三维的时间复杂度，比如Leetcode 375。照这个思路往下走，如何进行规划呢。首先是维护一个二维数组，dp[i][j]表示在第j个数之前把子数组分为i份的最小的最大值（有点绕，意思是第j个数之前可能有多种分法，每种分法都有一个和最大的子数组，dp[i][j]即所有分法中最小的最大值），因此，如果将第j个数之前把它分为i+1份，则从i到j进行循环（因为第i个数之前不可能分为i份），计算dp[i][t]和sum[j]-sum[t]中的较大值，在这i到j之间寻找这个较大值的最小值赋给dp[i+1][j]，代码如下

class Solution {
public:
    int splitArray(vector<int>& nums, int m) {
        int value = INT_MAX;
        int summary = 0;
        vector<int> sum(nums.size(),0);
        vector<int> dp(nums.size(),INT_MAX);
        for(int i = 0;i != nums.size();++i){
            summary += nums[i];
            sum[i] = summary;
        }
        for(int i = 0;i != nums.size();++i)
            dp[i] = sum[i];
        for(int i = 1;i != m;++i){
            for(int j = nums.size()-1;j >= i;--j){
                value = INT_MAX;
                for(int t = i-1;t != j;++t){
                    value = min(value,max(dp[t],sum[j]-sum[t]));
                }
                dp[j] = value;
            }
        }
        return dp.back();
    }
};

　　然而这道题还没有结束，通过提交效率的直方图我发现有两个距离差的较远的高峰，而且标签还有一个诡异的Binary Search，这说明这道题还有一个二分搜索的解法。首先我们可以断定答案落在区间[max(nums),sum(nums)]之间，所以我们在这个区间内做二分搜索，并判断当结果为pivot时至少可以分为多少部分，找到最小可以满足分为m份的值。

Code:

 

class Solution {
public:
    int splitArray(vector<int>& nums, int m) {
        int left = 0;
        int right = 0;
        for(int i = 0;i != nums.size();++i){
            left = max(left,nums[i]);
            right += nums[i];
        }
        while(left < right){
            int pivot = left+(right-left)/2;
            int count = 1;
            int sum = 0;
            for(int i = 0;i != nums.size();++i){
                sum += nums[i];
                if(sum > pivot){
                    sum = nums[i];
                    count++;
                }
            }
            if(count <= m)
                right = pivot;
            else
                left = pivot+1;
        }
        return left;
    }
};