随机生成k个范围为1-n的随机数，其中有多少个不同的随机数？

假如现在让你随机生成k个范围在1-n内的随机数，那么你能得到多少个不同的随机数呢？刚开始想得时候，我认为当k<=n时，可以得到k个不同的随机数，但是显然这个想法错了。做了个实验在1-1024内随机生成500个数，其中只有394个不同的数，随机生成1000个数，其中有639个不同的数。

接下来是很枯燥的数学推导，如果你只是想看看最后的公式，那么就看倒数第二行。如果你想看看推导过程那么就看下去。下面说的东西用到了概率和组合数学中的线性常系数非齐次递推关系。

现在我们想求一下，随机生成k个范围在1-n内的随机数，能得到多少个不同的随机数。

设我们随机k次得到的的k个数字为x1,x2,......xk。

设E[i]为随机i次得到的不重复数字个数的期望。

设p[i]为第i次随机得到的xi与x1,x2,......,x[i-1]其中一个重复的概率。

设q[i]为第i次随机得到的xi与x1,x2,......,x[i-1]中任何一个都不重复的概率。

那么显然p[i]=E[i-1]/n ，qi=(n-E[i-1])/n。

设Yi为指示器变量，Yi=1代表xi与x1,x2,......,x[i-1]中任何一个都不重复，Yi=0代表xi与x1,x2,......,x[i-1]其中一个重复。

那么由E[i]的意义可得E[i]=sigma(1*q[j])+sigma(0*p[j])=sigma(1*q[j])=sigma((n-E[j])/n) {0<=j<=i-1}。

现在可以得到E[i]=i-(1/n)*sigma(E[j]) {0<=j<=i-1}。现在我们就得到了一个递推关系式，并且我们知道E[0]=0,E[1]=1，我们可以用这个递推关系式求E[i]。

当然我们并不仅仅止于此，我们继续研究这个递推关系式，求出一个通项公式来。

E[1]=1
E[2]=2-1/n * E[1]
E[3]=3-1/n * (E[1]+E[2])
E[4]=4-1/n * (E[1]+E[2]+E[3])
...
E[k]=k-1/n * (E[1]+E[2]+E[3]+......+E[k-1])

我们把用下面的式子减去上面的式子得到：

E[2]-E[1]=1-1/n * E[1]
E[3]-E[2]=1-1/n * E[2]
E[4]-E[3]=1-1/n * E[3]
...
E[k]-E[k-1]=1-(1/n)*E[k-1]

现在设S[i]=E[1]+E[2]+......+E[i]，我们得到如下递推式：S[k]-S[1]-S[k-1]=k-1-(1/n)*S[k-1]。

由于S[1]=1，我们得到：S[k]-(n-1)/n * S[k-1]= k。这是一个线性常系数非齐次递推关系，对于这种递推关系求通项公式，组合数学上说的很详细。

通过解这个递推关系，我们求得通项公式为S[k]=(1-2*n+n*n)*((n-1)/n)^(k-1)+(1-n)*n+n*k。

把S[k-1]带入E[k]中得：  E[k]=k-(1/n)*((1-2*n+n*n)*((n-1)/n)^(k-2)+(1-n)*n+n*(k-1))。

当k趋向正无穷时，E[k]=k-(1/n)*(0+(1-n)*n+n*(k-1))=n，与我们的直觉是相符的。

 

现在，如果想得到n个不同的数，那么k应该大概是多少呢?

我们假设一系列的试验,C1,C2,C3,......,Ck中，Ci代表第i次试验随机生成的数字。

那么我们可以对试验进行阶段划分,阶段i为：第i次试验成功后的试验开始，第i+1次试验成功结束。阶段i的试验次数为X[i].

那么总的试验次数X=X[0] + X[1] + .... + X[n-1]。

第i个阶段的每次试验成功的概率为p=(n-i)/n，这是一个几何分布，也就是说第i个阶段的试验次数的期望为1/p= n/(n-i)。

那么总的试验次数期望为:X= n/(n-0) + n/(n-1) + n/(n-2) + ...... + n/1 = n*(1 + 1/2 + 1/3 + ...... + 1/n) = n * Hn

其中Hn=(1 + 1/2 + 1/3 + ...... + 1/n) ~ log(n)。所以，可以如果要生成n个不同的数，那么大概需要的试验次数是nlogn级别的。