图与网络——最小费用最大流问题精解

最小费用最大流问题(Minimum Cost Maximum Flow, MCMF)是网络流问题中的一种重要形式,结合了最大流和最短路径的思想,旨在流量最大化的前提下,使单位流量的成本最小化。这一问题在图论和运筹学中具有重要地位,也是经济学和管理学中的典型问题。在最小费用最大流问题中,每条路径都有“容量”和“费用”两个限制条件。容量代表路径上可容纳的最大流量,费用则是单位流量通过路径所需的成本。研究此类问题的核心目标是在满足最大流量的前提下,选择合理的路径分配方案,使得总费用最小化。例如,n辆卡车需要从A地运输物品到B地,不同路段的通行费和可通过的车量各不相同。最小费用最大流问题便是要寻找一种卡车分配方案,既能在最大限度上完成运输,又能使运输总成本最低。这类问题在物流、网络流量优化等领域应用广泛。

一、最小费用最大流问题概述

在实际问题中,我们总是希望在完成运输任务的同时,寻求运输费用最低的方案。最小费用流问题,就是要以最小费用从出发点(供应点)将一定的流量输送到接收点(需求点)。在最小流问题中,供应点、需求点的数量可以是一个或多个,但每个供应点的供应量和需求点的需求量是固定的。

带有费用的容量网络1 带有费用的容量网络2

1.1 有关术语

容量网络:图D=(V,A,C)中,V:点集,其中 vs为发点,只有发出的弧;vt为收点,该点只有进入的弧;其余的点为中间点。 A: 弧集,对于每一条弧 (vi,vj)AC:容量集,每一条弧的容量c(vi,vj)0(或简记为 cij),其中C={cij}f: fij=f(vi,vj):弧 (vi,vj)上的流量。
可行流:满足容量限制条件:0fij_ij;平衡条件:中间点:流出量 = 流入量j:(vi,vj)Afijk:(vk,vi)Afki=0
发点:

j:(vs,vj)Afsj=v

收点:

k:(vk,vt)Afkt=v

式中:v称为这个可行流的流量,即发点的净输出量。
可行流的费用:设每条弧单位流量的费用记为bij,可行流f费用为

b(f)=(vi,vj)bijfij

最小费用最大流问题就是在网络中求一个最大流f,使流的总输送费用b(f)最小。
增广路的费用: μ 是一条关于可行流 f 的增广路, 若以 θ 调整 f, 得到新的可行流 f, 将

B(f)B(f)=(vi,vj)Abijfij(vi,vj)Abijfij=(vi,vj)μbijfij(vi,vj)μbijfij=[(vi,vj)μ+bijfij(vi,vj)μ+bijfij]+[(vi,vj)μbijfij(vi,vj)μbijfij]=θ[(vi,vj)μ+bij]θ[(vi,vj)μbij]=θ[(vi,vj)μ+bij(vi,vj)μbij]

称为增广路 μ 的费用。

1.2 数学模型

D=(V,A)为一个有向网络,其中V是顶点集合,A是弧集。对于每条弧(i,j)A,设其容量为c(i,j),单位流量的费用为a(i,j),现有流量为f(i,j)。目标是在满足以下条件的情况下,获得的最小费用最大流,即最小费用最大流的数学模型

  • 起点流入减流出

    j(xjsxsj)=v

    其中v是最大流量。
  • 终点流入减流出

    j(xjtxtj)=v

  • 每条弧的流量不超过其容量:对于所有(i,j)A,有

    0f(i,j)c(i,j)

  • 流量平衡:对于所有iV{s,t},有

    j:(j,i)Af(j,i)=j:(i,j)Af(i,j)

    其中st分别表示源点和汇点。
  • 总费用最小化

    min(i,j)Aa(i,j)f(i,j)

1.3 最小费用最大流问题的应用

最小费用最大流问题在实际中具有广泛的应用场景,尤其在运输、物流、网络流量优化、经济调度等领域中具有重要作用。

物流运输问题:在物流运输中,通常需要在满足运输量要求的前提下,降低运输成本。通过建立网络模型,将每个城市作为顶点,城市之间的运输路径作为边,每条路径上设定容量和费用,应用最小费用最大流算法可以找到最优的运输方案。
网络数据流优化:在计算机网络中,数据传输的流量常常受网络带宽的限制,同时每单位数据的传输可能有不同的成本。通过最小费用最大流算法,可以优化网络中数据的传输方案,确保在带宽限制内最大化数据传输,同时最小化传输成本。
经济调度问题:在经济学中,最小费用最大流问题可以用于资源调度与分配。比如在一个生产网络中,厂商希望以最低的成本将产品从多个生产基地运输到多个销售点,同时最大化销售量。通过将供应链网络建模为一个流网络,使用最小费用最大流算法可以找到最优的分配策略。
电力输送问题:在电力输送网络中,不同路径的电力传输成本和容量各不相同。最小费用最大流算法可以用来优化电力网络的输送效率,确保在最大负载下,输送成本最低。

二、最小费用最大流问题的算法

f 是流量为 v(f) 的所有可行流中费用最小者,而 μ 是关于 f 的费用最小的增广路,那么沿 μ 去调整,得到的可行流 f ,就是流量为 v(f) 是所有可行流中费用最小的流。以上为求最小费用最大流找到了方法, 即先取一个最小费用流, 然后找出最小费用增广路进行调整, 一直这样调整下去, 直到找不出增广路为止。这时的可行流即为最小费用最大流。那如何寻找最小费用增广路呢?
为了寻找最小费用增广路, 我们构造一个有向赋权图 W(f), 其顶点为原网络 D 的顶点,把 D 中的每条弧 (vi,vj) 变为两条相反方向的弧 (vi,vj),(vj,vi) ;规定 W(f) 中弧 (vi,vj) 的权 wij

wij={bij,fij<cij+,fij=cijwji={bij,fij>0+,fij=0

长度为 + 的弧在找增广路可以略去, 于是求最小费用增广路等价于在 W(f) 中求从 vsvt的最短路。由以上讨论可得出求最小费用最大流的算法:
(1)第一步取零流为初始最小费用可行流,记为 f(0)
(2)若第 k 步得到最小费用流 f(k) ,构造一个有向赋权图 W(f(k)) ,在 W(f(k)) 中寻求从 vsvt 的最短路。若不存在最短路, 则 f(k) 即为网络 D 的最小费用最大流; 若存在最短路, 则在原网络 D 中得到了相应的最小费用增广路 μ, 对 f(k) 做调整, 调整量为

θ=min{min(vi,vj)μ+{cijfij(k)},min(vi,vj)μ{fij(k)}}

调整 f(k) 的各弧, 得到新的可行流 f(k+1)={fij(k+1)}, 重新计算。

例:求下图网络的最小费用最大流, 弧旁的数字为 (bij,cij)

(1)取 f(0) 为初始可行流;
(2)构造 W(f(0)) ,见图1,最短路为 μ={vs,v1,v3,v4,vt} ,在 μ 上进行调整, θ=min{4,8,4,8}=4, 得到新的可行流 f(1), 见图2;

图1 图2

(3)构造相应的赋权有向图 W(f(1)), 见图3, 最短路μ={vs,v1,v2,v3,vt},在 μ 上进行调整,得到新的可行流 f(2) ,见图4;

图3 图4

(4)构造相应的赋权有向图 W(f(2)) ,见图5,最短路 μ={vs,v1,v4,vt} ,在 μ 上进行调整, 得到新的可行流 f(3), 见图6;

图5 图6

(5)可以看到 W(f(3)) 中已不存在从 vsvt 的路,所以 f(3) 为最小费用最大流, v(f(3))=12,B(f(3))=240

三、最小费用最大流问题的Python求解

最小费用最大流的解决方案通常基于最大流算法和最短路径算法的组合。
费用可行流算法:这类算法从初始的无流量状态开始,逐步增加流量,每次增加的流量均沿着当前网络中的最短费用路径。该方法的核心步骤是找到具有负费用的可行路径并调整网络流。
逐次加流法:逐次加流法是通过反复寻找增广路径来增加流量的过程。在每次找到增广路径时,都选择具有最小费用的路径。最常用的方法是 SPFA(Shortest Path Faster Algorithm),它是Bellman-Ford算法的改进版本,能够更快地找到增广路径。
费用缩减法:费用缩减法基于将网络的费用逐渐减少,直到满足最优条件。该方法较为复杂,但在处理大规模网络问题时具有优势。

在下面的程序中,使用的是 networkx 库中的 max_flow_min_cost 函数来求解最小费用最大流问题。这是一个高层封装的函数,内部实现了经典的增广路径算法。networkx 使用了一种 Cost Scaling Push-Relabel 或 Capacity Scaling 方法来高效地解决最小费用最大流问题。

3.1 示例1

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 添加两行代码,解决中文显示问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用 SimHei 字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 正确显示负号

# 创建有向图
G = nx.DiGraph()

# 添加带容量和费用的边 (u, v, cost, capacity)
edges = [
    ('v_s', 'v_1', 8, 8),
    ('v_s', 'v_2', 6, 4),
    ('v_1', 'v_2', 2, 4),
    ('v_1', 'v_4', 10, 6),
    ('v_2', 'v_3', 4, 8),
    ('v_3', 'v_4', 2, 4),
    ('v_3', 'v_1', 2, 4),
    ('v_3', 'v_t', 8, 4),
    ('v_4', 'v_t', 4, 8)
]

# 在图中添加边
for u, v, cost, capacity in edges:
    G.add_edge(u, v, capacity=capacity, weight=cost)

# 使用最小费用最大流算法
flow_dict = nx.max_flow_min_cost(G, 'v_s', 'v_t')  # 从节点v_s到节点v_t
cost = nx.cost_of_flow(G, flow_dict)               # 计算最小费用

# 自定义节点的位置
pos = {
    'v_s': (-2, 0),   # 左端
    'v_1': (-1, 1),   # 第一层
    'v_2': (-1, -1),  # 第一层
    'v_3': (0, 1),    # 第二层
    'v_4': (0, -1),   # 第二层
    'v_t': (1, 0)     # 右端
}

# 绘制网络图并标注流量
plt.figure(figsize=(12, 8))  # 设置图形大小
nx.draw(
    G, pos, with_labels=True, node_size=700 * 3,  # 节点大小放大三倍
    node_color='lightblue', font_size=10 * 3,     # 字体大小放大三倍
    font_weight='bold', arrows=True, arrowsize=20  # 箭头大小放大三倍
)
edge_labels = {(u, v): f"{flow_dict[u][v]}/{G[u][v]['capacity']}, cost={G[u][v]['weight']}" for u, v in G.edges}
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=edge_labels, font_size=10 * 3)  # 边上标注字体放大三倍并使用中文

# 显示结果
plt.title(f"最小费用最大流\n总费用: {cost}", fontsize=20)  # 标题字体大小并设置中文字体
plt.show()

# 打印流量分配结果
print("流量分配:")
for u in flow_dict:
    for v in flow_dict[u]:
        if flow_dict[u][v] > 0:
            print(f"从节点 {u} 到节点 {v} 的流量: {flow_dict[u][v]}")
print(f"总费用: {cost}")
示例1图 示例2图

3.2 示例2

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 添加两行代码,解决中文显示问题
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 使用 SimHei 字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 正确显示负号

# 创建有向图
G = nx.DiGraph()

# 添加带容量和费用的边 (u, v, capacity, cost)
edges = [
    (0, 1, 8, 2),
    (0, 3, 7, 8),
    (1, 2, 9, 2),
    (1, 3, 5, 5),
    (2, 4, 6, 4),
    (2, 5, 5, 6),
    (3, 4, 9, 3),
    (4, 5, 10, 7)
]

# 在图中添加边
for u, v, capacity, cost in edges:
    G.add_edge(u, v, capacity=capacity, weight=cost)

# 使用最小费用最大流算法
flow_dict = nx.max_flow_min_cost(G, 0, 5)  # 从节点0到节点5
cost = nx.cost_of_flow(G, flow_dict)       # 计算最小费用

# 自定义节点的位置,确保0和5在两端,1和3在同一层次,2和4在另一层次
pos = {
    0: (-2, 0),  # 左端
    1: (-1, 1),  # 第一层
    3: (-1, -1), # 第一层
    2: (0, 1),   # 第二层
    4: (0, -1),  # 第二层
    5: (1, 0)    # 右端
}

# 绘制网络图并标注流量
plt.figure(figsize=(12, 8))  # 设置图形大小
nx.draw(
    G, pos, with_labels=True, node_size=700 * 3,  # 节点大小放大三倍
    node_color='lightblue', font_size=10 * 3,     # 字体大小放大三倍
    font_weight='bold', arrows=True, arrowsize=20  # 箭头大小放大三倍
)
edge_labels = {(u, v): f"{flow_dict[u][v]}/{G[u][v]['capacity']}, cost={G[u][v]['weight']}" for u, v in G.edges}
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=edge_labels, font_size=10 * 3)  # 边上标注字体放大三倍并使用中文

# 显示结果
plt.title(f"最小费用最大流\n总费用: {cost}", fontsize=20)  # 标题字体大小并设置中文字体
plt.show()

# 打印流量分配结果
print("流量分配:")
for u in flow_dict:
    for v in flow_dict[u]:
        if flow_dict[u][v] > 0:
            print(f"从节点 {u} 到节点 {v} 的流量: {flow_dict[u][v]}")
print(f"总费用: {cost}")

总结

最小费用最大流问题不仅结合了最大流与最短路径的特性,还提供了在多重约束条件下寻找最优解的能力,因此在现代复杂网络环境中具有广泛的应用。随着大数据和互联网的快速发展,网络优化问题愈加复杂,最小费用最大流算法的高效性变得尤为关键。近年来,研究人员通过对算法的深入研究,提出了如增广路径法、费用缩减法等多种改进算法,使其能够在处理大规模网络时表现出色。同时,结合并行计算和分布式计算等现代计算技术,最小费用最大流的求解效率得到了极大提升,尤其在处理超大规模数据集时更具优势。未来,随着计算资源的增加和算法的进一步优化,最小费用最大流问题将被广泛应用于如智能交通系统、供应链优化、通信网络流量控制等更多新兴领域,为社会和经济的发展提供强有力的支持。

参考资料

  1. 最大流(二)---- 最大流以及最小费用最大流问题
  2. 最小费用流及其求法
posted @   郝hai  阅读(1088)  评论(0编辑  收藏  举报
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