图与网络——最小树问题精解

最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）问题是图论中的一个重要问题，其核心思想是：给定一个无向加权图（每条边具有权重值），通过选择若干边构建一棵包含所有顶点的生成树，并确保这些边的权重总和最小。最小生成树不仅保持了生成树的连通性和无圈性，还要求总权重最小化。在实际应用中，最小生成树问题在计算机科学和网络设计领域广泛使用，它常用于优化电路网络、建立通信网络、规划道路交通系统等，可以有效降低基础设施建设成本、提高资源利用效率，这类问题可通过经典的算法如Prim和Kruskal进行求解。

无向图	最小树

一、最小树的界定描述

什么是树？
树是图论中的一种特殊数据结构，是一个无圈、连通的无向图。树由顶点和边组成，满足以下特征：
无圈性：树中没有任何回路，即任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
连通性：树是连通的，任意两个顶点之间都有一条路径相连。

什么是生成树？
生成树是指从一个连通无向图中选择若干条边，构成一个包含图中所有顶点且无圈的子图。生成树满足以下条件：
覆盖所有顶点：生成树中的顶点与原图相同，包含原图的所有顶点。
无圈性：生成树中没有任何环，满足树的定义。
边的数量：生成树的边数是$n-1$，$n$是顶点的数量。
对于一个连通图，可能存在多个不同的生成树，每棵生成树都符合上述定义。

图	树非生成树	生成树或支撑树

树模型具有下面重要性质：
设 $T=(V, E)$ 是一个 $|V|\geqslant 3$ 的无向图，则下列关于树的命题是等价的：
$T$ 连通且无圈；
$T$ 的任何两个顶点间均必有一条且仅有一条通路相连；
$T$ 连通且有 $n-1$ 条边，这里 $n=|V|$；
$T$ 有 $n-1$ 条边且无圈，这里 $n=|V|$；
$T$ 无圈，但在 $T$ 中任意两个不相邻的顶点间添加一条边，就可构成一个圈；
$T$ 连通，但去掉任意一条边后就不连通，即树 $T$ 是连通且边数最少的图。

什么是最小生成树(最小树)？
最小生成树是生成树的一种特殊形式，定义为：在一个加权无向图中，所有生成树中边权和最小的那棵生成树。它不仅符合生成树的所有条件，还要求所选边的权重总和最小。若$G=(V, E, W)$ 是一个连通的赋权图，$T=(V, S)$ 是 $G$ 的支撑树，把 $T$ 中所有边的权之和称作树 $T$ 的权，记作 $w(T)$，即： $$w(T) = \sum_{e\in S} w(e)$$ ，$G$ 中权最小的支撑树 $T$ 称为 $G$ 的最小支撑树，简称最小树。
在现实生活中，比如在城市之间建立输电网络、电话线网或光纤网络时，我们希望找到一种最优的布线方案，使得总长度或总费用最小化。这类问题可以被转化为赋权图的最小树问题。

最小生成树具有特点：
连通性：最小生成树依然是连通的，能够覆盖图的所有顶点。
无圈性：最小生成树没有回路，符合树的基本属性。
最小权重和：最小生成树的边权重总和在所有可能的生成树中最小。
最小生成树在网络优化、路径规划、通信设计等领域具有重要应用，常用于降低成本、提高效率。

二、最小树算法的Python求解

根据最小树的最小权要求，所以大致构成这颗树的边权也应该小一些，这样就获得最小生成树的多种求解方法。例如手工计算的破圈法和避圈法，软件程序最经典的两种是Kruskal算法和Prim算法。

2.1 Kruskal算法

Kruskal算法同样基于贪心思想，但与Prim算法不同的是，它是基于边的排序进行操作的。Kruskal算法先将图中的所有边按权重从小到大排序，然后依次选择这些边，确保选择的边不会形成圈。算法适合处理稀疏图。Kruskal算法步骤：

将图中的所有边按权重升序排列。
依次选择权重最小的边，判断该边是否会形成环。如果不会形成环，则将该边加入生成树。
重复上面步骤，直到生成树包含 $n-1$条边为止。

例1：给定无向图$G(n，m)$表明图G有$n$个顶点，$m$条边，通过Kruskal算法构造一个最小生成树。

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt

# 设置中文字体，确保Matplotlib支持中文
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 设置中文字体为黑体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题

# 创建图
G = nx.Graph()

# 添加节点
nodes = ['V1', 'V2', 'V3', 'V4', 'V5', 'V6']
G.add_nodes_from(nodes)

# 添加边和权重
edges = [
    ('V1', 'V5', 1),
    ('V1', 'V6', 2),
    ('V1', 'V2', 3),
    ('V2', 'V6', 4),
    ('V2', 'V3', 5),
    ('V3', 'V6', 6),
    ('V3', 'V4', 7),
    ('V4', 'V6', 8),
    ('V4', 'V5', 9)
]
G.add_weighted_edges_from(edges)

# Kruskal最小生成树的边
mst_edges = [('V1', 'V5'), ('V1', 'V6'), ('V1', 'V2'), ('V2', 'V3'), ('V3', 'V4')]

# 手动设置每个节点的位置，确保V6在中间，其他顶点围绕它
pos = {
    'V6': (0, 0),       # V6在中间
    'V1': (0, 1),       # V1在上方
    'V2': (1, 0.5),     # V2在右上方
    'V3': (1, -0.5),    # V3在右下方
    'V4': (0, -1),      # V4在下方
    'V5': (-1, 0)       # V5在左侧
}

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))

# 绘制所有边，调整线条粗细和节点大小，设置节点标签的字体大小为15
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_color='lightblue', node_size=3000, font_size=45, font_weight='bold', edge_color='gray', width=6)  # 字体和边线粗细增加三倍
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels={(u, v): f'{d}' for u, v, d in edges}, font_size=30)  # 边权重的字体大小为默认的三倍

# 用红色标出最小生成树的边，线宽设置为原来的三倍
nx.draw_networkx_edges(G, pos, edgelist=mst_edges, width=6, edge_color='red')  # 最小生成树的边线宽度为原来的三倍

# 设置标题，字体大小增大三倍
plt.title("最小生成树", fontsize=60)

# 显示图形
plt.show()

2.2 Prim算法

Prim算法是一种基于贪心思想的算法，适合处理稠密图。算法从一个起始顶点开始，将其加入生成树，然后不断选择与当前生成树相连的权重最小的边，将该边所连接的顶点加入生成树，直到所有顶点都被包括在内为止。Prim算法步骤：

从任意一个顶点出发，初始时将该顶点加入生成树。
查找与已加入生成树的顶点相邻的最小权重边，将该边及其相邻的顶点加入生成树。
重复上述步骤，直到所有顶点都包含在生成树中。

例2：某地的5个城镇需要铺设天然气管道，下图中给出了5个城镇之间可以铺设管道的情况的以及距离，先求一个设计方案，用最短的管道将5个城镇连接起来。

原图	迭代1	迭代5

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
import heapq

# 设置中文字体，确保Matplotlib支持中文
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 设置中文字体为黑体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决负号显示问题

# 创建图
G = nx.Graph()

# 添加节点
nodes = ['V1', 'V2', 'V3', 'V4', 'V5', 'V6']
G.add_nodes_from(nodes)

# 添加边和权重
edges = [
    ('V1', 'V2', 1),
    ('V1', 'V4', 7),
    ('V1', 'V3', 3),
    ('V1', 'V5', 9),
    ('V2', 'V3', 6),
    ('V2', 'V4', 4),
    ('V2', 'V5', 3),
    ('V3', 'V4', 5),
    ('V3', 'V6', 10),
    ('V4', 'V5', 8),
    ('V4', 'V6', 3)
]
G.add_weighted_edges_from(edges)

# 修改邻接表，基于edges
graph = {
    'V1': {'V2': 1, 'V3': 3, 'V4': 7, 'V5': 9},
    'V2': {'V1': 1, 'V3': 6, 'V4': 4, 'V5': 3},
    'V3': {'V1': 3, 'V2': 6, 'V4': 5, 'V6': 10},
    'V4': {'V1': 7, 'V2': 4, 'V3': 5, 'V5': 8, 'V6': 3},
    'V5': {'V1': 9, 'V2': 3, 'V4': 8},
    'V6': {'V3': 10, 'V4': 3}
}

# Prim算法实现
def prim_mst(graph, start):
    mst = []  # 存储最小生成树的边
    visited = set([start])  # 记录已经访问过的节点
    edges = [(weight, start, to) for to, weight in graph[start].items()]
    heapq.heapify(edges)  # 将边加入优先队列

    while edges:
        weight, frm, to = heapq.heappop(edges)
        if to not in visited:
            visited.add(to)
            mst.append((frm, to))
            for next_to, next_weight in graph[to].items():
                if next_to not in visited:
                    heapq.heappush(edges, (next_weight, to, next_to))
    return mst

# 使用Prim算法求最小生成树
mst_edges = prim_mst(graph, 'V1')

# 定义节点的位置布局，V3在中间
pos = {
    'V3': (0, 0),       # V3在中间
    'V1': (0, 1),       # V1在上方
    'V2': (1, 0.5),     # V2在右上方
    'V4': (0, -1),      # V4在下方
    'V5': (-1, 0),      # V5在左侧
    'V6': (1, -0.5)     # V6在右下方
}

# 调整字体大小和边线粗细
plt.figure(figsize=(8, 6))
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_color='lightblue', node_size=3000, font_size=36, font_weight='bold', edge_color='gray', width=6)  # 调整font_size和width
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels={(u, v): f'{d}' for u, v, d in edges}, font_size=30)  # 边权重的字体大小调大

# 用红色标出最小生成树的边
nx.draw_networkx_edges(G, pos, edgelist=mst_edges, width=6, edge_color='red')  # 边线粗三倍

# 设置标题
plt.title("Prim算法求解最小生成树", fontsize=36)  # 标题字体调整

# 显示图形
plt.show()

总结

最小生成树问题是图论中重要的优化问题，它要求在给定的无向图中找到一棵边权和最小的生成树。生成树具有连通性和无环性，而最小生成树则在此基础上还要求边的权重和最小。通过Prim算法和Kruskal算法，我们可以高效地解决最小生成树问题。Prim算法适用于稠密图，而Kruskal算法则更适合稀疏图。在实际应用中，最小生成树被广泛用于网络设计、通信系统规划、输电线路布局等领域。在实际工程中，最小生成树的求解不仅能降低系统的成本，还能提高资源的利用效率。通过使用适当的算法和数据结构，我们能够快速且准确地求解最小生成树问题。

参考资料

1. 算法设计分析（Kruskal构造最小生成树）
2. 最小生成树(最小支撑树)算法