线性整数规划建模精解

线性整数规划（Linear Integer Programming）是一类决策变量取值为整数的优化问题，旨在在满足一组线性约束条件的前提下，最大化或最小化线性目标函数。与一般的线性规划不同，线性整数规划要求部分或全部决策变量必须为整数，这使得该模型在解决许多实际问题时更具实用性。现实世界中，很多问题涉及离散选择，例如产品数量、机器数量或人员配备等，需要整数解答。整数约束增加了问题的复杂性，但同时也更贴合实际需求，因此线性整数规划在制造业、物流、金融等领域有广泛应用。

线性整数规划建模	分支定界法

一、线性整数规划概述

整数规划可以看作是线性规划的一个扩展，简单来说，整数规划的目标是在满足线性不等式约束的情况下，找到一个使目标函数最优的整数解。

1.1线性整数规划的应用场景

整数规划被广泛应用于现实世界的各个领域，特别是在管理科学、运筹学、经济学和工程学等方面。以下是一些整数规划的典型应用场景：

生产与制造：在生产计划中，整数规划可以用于确定生产批次的大小和生产顺序，从而最小化成本或最大化产出。例如，一个工厂可能需要决定生产多少单位的产品A和产品B，以最大化利润，同时满足生产能力和市场需求的约束。
物流与运输：物流领域中，整数规划可用于优化车辆路径问题（Vehicle Routing Problem, VRP），即如何安排车辆的路径，以最小化总运输成本或时间。例如，快递公司需要规划其货车的最佳路线，以确保在最短时间内完成所有配送任务。
资源分配：整数规划常用于优化资源的分配，如项目调度、人员安排和资金分配等。例如，项目管理中可以使用整数规划来确定各个任务的优先级和资源分配，以确保项目在规定的时间和预算内完成。
网络设计：在通信网络或电力网络的设计中，整数规划可以用于确定网络中的节点和连接，从而优化网络的成本和性能。例如，在设计一个新通信网络时，可以使用整数规划来决定需要建设哪些基站以及如何连接它们，以确保覆盖范围和信号质量的最大化。

1.2 整数规划的求解方法

整数规划问题通常比线性规划问题更加复杂，因为整数约束使得问题的解空间不再是一个连续的多面体，而是一个离散的点集。因此，整数规划问题的求解通常需要更复杂的算法和技术。以下是一些常见的整数规划求解方法：

分支定界法（Branch and Bound）：这是一种经典的求解整数规划问题的方法，通过构造问题的解空间树，并逐步分割和界定其解空间，从而找到最优解。分支定界法在实际应用中非常有效，但其计算复杂度在最坏情况下可能是指数级的。
割平面法（Cutting Plane Method）：该方法通过在解空间中引入额外的线性约束（切割平面），逐步逼近最优整数解。割平面法通常与其他方法结合使用，以提高求解效率。
混合整数规划（MIP）求解器：现代混合整数规划求解器，如Cplex、Gurobi和SCIP，结合了多种优化技术，包括启发式方法、分支定界法和割平面法。这些求解器通常能够在较短时间内找到大规模整数规划问题的近似最优解。
元启发式算法（Metaheuristic Algorithms）：包括遗传算法、模拟退火、粒子群优化等。元启发式算法不保证找到最优解，但在处理非常大的整数规划问题时，能够提供有效的近似解。

1.3线性整数规划的发展

随着计算机硬件的不断进步和优化算法的持续发展，整数规划的求解能力有了显著提升。以下是一些当前整数规划求解的进展：

算法集成与改进：现代整数规划求解器通过集成多种优化技术，能够有效地处理大规模和复杂的整数规划问题。分支定界法和割平面法的改进，以及启发式算法的融合，使得求解器在求解速度和精度上都有了显著提升。
并行计算与分布式计算：借助高性能计算集群和分布式计算技术，求解大型整数规划问题变得更加可行。这些技术使得计算资源可以被充分利用，从而加快求解速度。
人工智能与机器学习的结合：近年来，人工智能和机器学习技术被引入到整数规划的求解过程中。例如，通过机器学习预测问题的特性，可以动态调整求解策略，或者利用深度学习进行启发式搜索，找到更优的初始解。
领域特定优化方法：根据特定领域的需求，开发专门的整数规划算法。例如，在电力网络优化中，研究人员开发了针对电力传输网络的特殊优化算法，这些算法能够更有效地解决领域内的特定问题。

总的来说，整数规划作为一种重要的优化工具，在解决实际问题时显示出强大的能力。随着求解技术的不断进步，整数规划在更广泛的应用场景中将发挥越来越重要的作用。

二、线性整数规划的分类

整数规划问题可进一步细分为三种主要类型：

纯整数规划（Pure Integer Programming）：所有的决策变量必须是整数。
混合整数规划（Mixed Integer Programming, MIP）：一些决策变量可以是非整数，而另一些必须是整数。
0-1整数规划（0-1 Integer Programming）：所有的整数变量只能取0或1，这种类型常用于涉及二进制选择的问题。

2.1 纯整数规划

纯整数规划问题指的是所有决策变量都必须是整数的优化问题。这种“纯”整数的要求在管理实践中非常常见，特别是在处理涉及离散选择或不可分割资源的场景时。例如，在生产管理中，工厂需要确定生产的产品数量，机器台数等，显然这些数量必须是整数。在人员调度中，雇佣的员工数量也是整数，不可能出现半个员工的情况。在供应链管理中，运输的货物数量和车辆数目也都必须是整数。因此，纯整数规划在这些实际应用中起到了关键作用，确保了决策的可行性和合理性。

例1：心脑血管科的一个工作日分为6个4小时的时段，每个时段的人员要求不同。以下是每个时段的人员需求量：

编号	1	2	3	4	5	6
时段	0:00 - 4:00	4:00 - 8:00	8:00 - 12:00	12:00 - 16:00	16:00 - 20:00	20:00 - 24:00
需要护士人数	15	15	15	35	40	40

排班需满足以下条件：每位护士每天连续工作8小时，中间没有休息。请建立护士人数最少的线性整数规划模型。

• 决策变量
  设\(x_j\)表示有多少护士在从第\(j\)个时段开始工作(全部都要求是整数，人数不可分)
• 目标函数
  目标是最小化护士总数，即所有班次中工作的护士总数之和$$\min \sum_{j=1}^{6} x_j$$
• 约束条件
  为了满足每个时段的护士需求，下面是各时段的约束条件：
  • 时段 1（0:00 - 4:00）：需要 15 名护士$$x_6+x_1 \geq 15$$
  • 时段 2（4:00 - 8:00）：需要 15 名护士$$x_1 + x_2 \geq 15$$
  • 时段 3（8:00 - 12:00）：需要 15 名护士$$x_2 + x_3 \geq 15$$
  • 时段 4（12:00 - 16:00）：需要 35 名护士$$x_3 + x_4 \geq 35$$
  • 时段 5（16:00 - 20:00）：需要 40 名护士$$x_4 + x_5 \geq 40$$
  • 时段 6（20:00 - 24:00）：需要 40 名护士$$x_5+x_6 \geq 40$$
• 非负整数约束
  所有的\(x_j\)都必须是非负整数$$x_j \geq 0, \quad x_j \in \mathbb{Z} \quad \text{对于每个班次 } j = 1, 2, 3, 4, 5, 6$$

这个模型描述了如何分配护士以满足不同时间段的需求，同时遵守工作时间和休息的规定。通过求解这个整数规划模型，我们可以确定护士的最优排班计划。

2.2 混合整数规划

混合整数规划问题（Mixed Integer Programming, MIP）是一类优化问题，其中部分决策变量必须为整数，而其他变量可以是连续值。这个“混合”特性使其在许多管理实践中非常实用，特别是在涉及到同时处理离散和连续决策的情况下。例如，在投资组合优化中，决定投资的金额可以是连续的，而选择是否投资某个项目则是一个二进制整数问题（投资或不投资）。在生产计划中，生产批次的数量是整数变量，但可以调整的资源使用量则是连续变量。混合整数规划能够有效处理这类同时存在整数和连续决策需求的复杂问题，在实际应用中具有广泛的适用性和重要性。
例2：生产方式选择问题
某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择。如果选定的生产方式投资高（选购自动化程度高的设备），由于产量大，因而分配到每件产品的变动成本就降低；反之，如果选定的生产方式投资低，将来分配到每件产品的变动成本可能增加。因此，必须全面考虑。令\(x_j\)表示采用第\(j\)种方式时的产量；\(c_j\)表示采用第\(j\)种方式时每件产品的变动成本；\(k_j\)表示采用第\(j\)种方式时的固定成本。

采用各种生产方式的总成本分别为：

\[P_j = \begin{cases} k_j + c_j x_j, & \text{当 } x_j > 0 \\ 0, & \text{当 } x_j = 0 \end{cases} \quad j = 1, 2, 3 \]

• 引入 0-1 变量
  为了在一个问题中统一讨论，引入 0-1 变量\(y_j\)，令：

\[y_j = \begin{cases} 1, & \text{当采用第 } j \text{ 种生产方式，即 } x_j > 0 \text{ 时,} \\ 0, & \text{当不采用第 } j \text{ 种生产方式，即 } x_j = 0 \text{ 时.} \end{cases} \]

• 目标函数

\[\min z = (k_1 y_1 + c_1 x_1) + (k_2 y_2 + c_2 x_2) + (k_3 y_3 + c_3 x_3) \]

• 约束条件

\[y_j \varepsilon \leq x_j \leq y_j M, \quad j = 1, 2, 3 \]

其中\(\varepsilon\)是一个充分小的正常数，\(M\)是一个充分大的正常数。这个约束说明，当\(x_j > 0\)时\(y_j\)必须为 1；当\(x_j = 0\)时只有\(y_j\) 为 0 时才有意义，所以这个约束完全可以代替目标函数中的非线性部分。

2.3 0−1型整数规划

0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量\(x_j\)仅取值 0 或 1。这时\(x_j\)称为0 −1变量，或称二进制变量。\(x_j\)仅取值 0 或 1 这个条件可由下述约束条件：\(0 ≤ x_j ≤ 1\)，整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。

例3：某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有 7 个位置（点）\(A_i (i=1,2,\ldots,7)\)可供选择。规定如下：
在东区，由\(A_1, A_2, A_3\)三个点中至多选两个；
在西区，由\(A_4, A_5\)两个点中至少选一个；
在南区，由\(A_6, A_7\)两个点中至少选一个。
如选用\(A_i\)点，设备投资估计为\(b_i\)元，每年可获利润估计为\(c_i\)元，但投资总额不能超过\(B\)元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？

• 引入 0-1 变量
  定义\(x_i (i=1,2,\ldots,7)\)为：

\[x_i = \begin{cases} 1, & \text{当 } A_i\text{ 点被选中,} \\ 0, & \text{当 } A_i\text{ 点没被选中.} \end{cases} \]

• 目标函数
  最大化年利润$$\text{Max} \quad Z = \sum_{i=1}^7 c_i x_i$$
• 约束条件
  • 投资总额不超过\(B\)元$$\sum_{i=1}^7 b_i x_i \leq B$$
  • 东区至多选两个点$$x_1 + x_2 + x_3 \leq 2$$
  • 西区至少选一个点$$x_4 + x_5 \geq 1$$
  • 南区至少选一个点$$x_6 + x_7 \geq 1$$
  • 0-1 变量约束$$x_i = 0 \text{ 或 } 1$$

例4(旅行商问题，Travelling salesman problem)：旅行商问题于 1930 年被提出，也是一个经典的组合优化问题。该问题描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，他从一个城市出发，需要经过所有城市后再回到出发地，问如何走总路程最小。严谨的表述为：设有一个边赋权的\(G=(V,E)\)，其中\(|V|=n+1\)个点之中任意两个点之间有边可达，TSP 问题要求指定一个点\(s\in V\)作为起点，找到一条路径从\(s\)出发不重复地走完其余\(n\)个点后再回到\(s\)，且使得该路径权重和最小。亦即：寻找一条权重最小的 Hamilton 回路。下图是一个著名的例子，是美国本土 49 个城市（美国本土 48 个州 + 哥伦比亚特区各一个）的最优 TSP 环游。

美国本土 49 个城市 TSP 环游	TSP环游的子环游

如何把 Hamilton 回路表示成整数规划的约束呢？直观上我们有这种思路：每个顶点都与两条 Hamilton 回路中的边相连；同时：若将顶点集合\(V\)任意分割成两部分，则这两部分之间的边都至少有两条，否则可能会出现多个圈（cycle）的情况，见上图。记\(\delta(S) = \{e : e = (i, j) \in E, i \in S, j \notin S\}\)，其中\(x_e \in \{0, 1\}\)代表边$e $是否在 Hamilton 回路里，得整数规划模型：

\[\begin{align*} \min \quad & \sum_{e \in E} w_e x_e \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{e \in \delta(\{i\})} x_e = 2 \\ & \sum_{e \in \delta(S)} x_e \ge 2, \quad \forall S \subset V \\ & x_e \in \{0, 1\} \end{align*} \]

三、线性整数规划的Python求解

例5：某篮球队要选择5名队员上场组成出场阵容参加比赛。8名篮球队员的身高及擅长位置如下表所示。

队员	1	2	3	4	5	6	7	8
身高	1.92	1.90	1.88	1.86	1.85	1.83	1.80	1.78
擅长位置	中锋	中锋	前锋	前锋	前锋	后卫	后卫	后卫

出场阵容要求满足以下条件：只能有一个中锋上场；至少有一名后卫；2号和8号至少保留一个不上场。问应当选择哪5位上场，才能使出场的五名队员平均身高最高？
解：线性整数规划模型建立如下展示。

• 决策变量:定义二元决策变量\(x_i\)，如果第\(i\) 个队员上场，则\(x_i = 1\)，否则\(x_i = 0\)；其中\(i = 1, 2, \ldots, 8\)。
• 目标函数:目标是最大化出场队员的平均身高。因此目标函数可以表示为：
  \[\text{Max} \quad \frac{1}{5}(1.92x_1 + 1.90x_2 + 1.88x_3 + 1.86x_4 + 1.85x_5 + 1.83x_6 + 1.80x_7 + 1.78x_8) \]

• 约束条件
  • 只能有一个中锋上场$$x_1 + x_2 \leq 1 $$
  • 至少有一名后卫$$x_6 + x_7 + x_8 \geq 1 $$
  • 2号和8号至少保留一个不上场$$x_2 + x_8 \leq 1 $$
  • 总共选5名队员$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 + x_8 = 5 $$

from pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable, lpSum

# 定义问题
model = LpProblem("Maximize_Average_Height", LpMaximize)

# 定义决策变量
x = LpVariable.dicts("x", range(1, 9), cat='Binary')

# 身高列表
heights = [1.92, 1.90, 1.88, 1.86, 1.85, 1.83, 1.80, 1.78]

# 目标函数: 最大化身高之和
model += lpSum([heights[i-1] * x[i] for i in range(1, 9)])

# 约束条件
model += x[1] + x[2] <= 1  # 只能有一个中锋
model += x[6] + x[7] + x[8] >= 1  # 至少有一名后卫
model += x[2] + x[8] <= 1  # 2号和8号至少有一个不上场
model += lpSum([x[i] for i in range(1, 9)]) == 5  # 选择5名队员

# 求解问题
model.solve()

# 输出结果
selected_players = [i for i in range(1, 9) if x[i].value() == 1]
print(f"应当选择的队员: {selected_players}")
average_height = sum(heights[i-1] for i in selected_players) / 5
print(f"平均身高: {average_height:.2f}")

应当选择的队员: [1, 3, 4, 5, 6]
平均身高: 1.87

例6：本学期吉尔 (Jill) 选修了运筹学、工程经济学、统计学和材料科学 4 门课。她共有 30 个小时的复习时间来为期末考试做准备; 她希望能够对有限的时间进行合理分配以尽可能提升考试成绩。吉尔最喜欢的是运筹学, 所以她在运筹学上投入的复习时间不会低于其他课程。她认为每门功课的复习时间超过 10 小时可能用处不大。根据以往的经验, 她在运筹学上每投入 1 小时时间能够提升 \(2 \%\) 的成绩, 在工程经济学上每 投入 1 小时能够提升 \(3 \%\) 的成绩, 在统计学上每投入 1 小时能够提升 \(1 \%\) 的成绩, 在材料科学上每投入 1 小时能够提升 \(5 \%\) 的成绩。请构造一个线性规划模型帮助吉尔优化复习时间的分配。

解: 定义决策变量:\(h_j \triangleq\) 在第 \(j\) 门功课上投入的小时数 \(j=1, \cdots, 4\)，时间分配模型如下:

\[\begin{aligned} \max \quad 2h_1+3h_2+1h_3+5h_4 \\ \text {（总成绩回报）} \\ \text { s. t. } \quad h_1+h_2+h_3+h_4=30 \\ \text { (可用时间) } \\ h_1 \geqslant h_j \quad j=2, \cdots, 4 \\\text { (运筹学花费时间最多) } \\ h_j \leqslant 10 \quad j=1, \cdots, 4 \\\text { (每门功课时间不超过 } 10 \text { 小时) } \\ h_j \geqslant 0 且是整数 \quad j=1, \cdots, 4 \\ \end{aligned} \]

#求解程序
import pulp

# 创建一个线性规划问题（最大化）
prob = pulp.LpProblem("Maximize_Score", pulp.LpMaximize)

# 创建变量 h1, h2, h3, h4 (均为非负整数)
h1 = pulp.LpVariable('h1', lowBound=0, cat='Integer')
h2 = pulp.LpVariable('h2', lowBound=0, cat='Integer')
h3 = pulp.LpVariable('h3', lowBound=0, cat='Integer')
h4 = pulp.LpVariable('h4', lowBound=0, cat='Integer')

# 目标函数：2h1 + 3h2 + 1h3 + 5h4
prob += 2*h1 + 3*h2 + 1*h3 + 5*h4, "Total_Score"

# 约束条件
prob += h1 + h2 + h3 + h4 == 30  # 可用时间
prob += h1 >= h2  # 运筹学花费时间最多
prob += h1 >= h3
prob += h1 >= h4
for h in [h1, h2, h3, h4]:
    prob += h <= 10  # 每门功课时间不超过10小时

# 求解问题
prob.solve()

# 输出最优解
print(f"Status: {pulp.LpStatus[prob.status]}")
print(f"h1: {pulp.value(h1)}")
print(f"h2: {pulp.value(h2)}")
print(f"h3: {pulp.value(h3)}")
print(f"h4: {pulp.value(h4)}")
print(f"Maximum Total Score: {pulp.value(prob.objective)}")

h1: 10.0
h2: 10.0
h3: 0.0
h4: 10.0
Maximum Total Score: 100.0

总结

整数规划在优化工具中占据重要地位，能够精确地模拟和求解现实世界中的诸多离散决策问题，其强大的能力使其在管理和工程等领域得到广泛应用。由于许多实际问题涉及离散选择，如设备采购数量、人员调度、生产批次等，整数规划的整数约束特性使其能够更贴近这些问题的实际需求。随着求解技术的进步，尤其是高效算法和计算能力的提升，整数规划的应用范围正在不断扩展。例如，分支定界法和割平面法的改进，使得求解更大规模和复杂度更高的问题成为可能。并行计算和分布式计算的应用，更是极大地提高了大规模整数规划问题的求解效率。此外，人工智能和机器学习技术的结合，为整数规划带来了新的求解策略和方法，使得求解器能够更智能地应对不同类型的问题。整数规划将在更广泛的领域中发挥作用，从而为解决复杂的现实问题提供更高效、更精确的优化方案。无论是在工业、交通、能源，还是在公共管理和金融等领域，整数规划的潜力都将得到进一步的发掘和应用。

参考文献

1. 数学规划与运筹学（5）线性整数规划简述
2. 【数学建模】数学建模学习2---整数规划（例题+matlab代码实现）