线性规划单纯形法精解

单纯形法（Simplex Method）是解决线性规划问题的一种高效且广泛使用的算法。由乔治·丹齐克（George Dantzig）在20世纪40年代提出，这一方法通过系统地检查可行解空间的极点，从而找到最优解。由于其计算效率高，单纯形法迅速成为线性规划问题中最重要和最常用的算法之一。它的应用范围广泛，能够有效解决实际中的大规模优化问题，因此在现代工业和经济管理中扮演着关键角色。

初始单纯形表	迭代后单纯形表

一、单纯形表的消元法建构

线性规划的标准型为

$$\begin{aligned} & \max \quad z=\boldsymbol{C} \boldsymbol{X} \\ & \left\{\begin{array}{c} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{X} \geqslant \boldsymbol{0} \end{array}\right. \end{aligned}$$

其中： $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $m \leqslant n$ 且秩 $r(\boldsymbol{A})=m$ ，即 $\boldsymbol{A}$ 中至少有一个 $m \times m$ 满秩子矩阵。

1.1 求基本可行解的代数消元(最优解判断条件)

不妨设 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{llll}\boldsymbol{P}_1 & \boldsymbol{P}_2 & \cdots & \boldsymbol{P}_m\end{array}\right)$ 是线性规划的一个基, 将有关矩阵和向量分块，记 $\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{B}, N), C=\left(\boldsymbol{C}_B, \boldsymbol{C}_N\right), X=\left(\boldsymbol{X}_B, \boldsymbol{X}_N\right)^{\mathrm{T}}$ ，为求线性规划的基本最优解，先要求线性规划的基本可行解，这样就需将约束中的基变量用非基变量表示出来。
用 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 左乘约束方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 的两端，得

$$\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}^{-1}(\boldsymbol{B}, N)\binom{\boldsymbol{X}_B}{\boldsymbol{X}_N}=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{X}_B+\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{N} \boldsymbol{X}_N=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{b}$$

即

$$\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B} \boldsymbol{X}_B+\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{N} \boldsymbol{X}_N=\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}_B+\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{N} \boldsymbol{X}_N=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{b}$$

其中 $\boldsymbol{E}$ 是单位矩阵。整理, 得

$$\boldsymbol{X}_B=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{b}-\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{N} \boldsymbol{X}_N$$

将其代入目标函数中，得

$$z=\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{b}-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{N} \boldsymbol{X}_N+\boldsymbol{C}_N \boldsymbol{X}_N=\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{b}+\left(\boldsymbol{C}_N-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{N}\right) \boldsymbol{X}_N$$

即

$$z=\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{b}+\sum_{j=m+1}^n\left(c_j-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{P}_j\right) x_j$$

非基变量 $x_j$ 前面的系数 $c_j-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{P}_j$ 称为变量 $x_j$ 的检验数，表示该变量增加或减少一个单位所引起目标函数值的变化，它可以用来判断将 $x_j$ 变成基变量后能否改进目标函数值，以后记为 $\sigma_j=c_j-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{P}_j$ 。

最优解判定定理：对某基本可行解 $\boldsymbol{X}_B=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{b}$ 其他 $\boldsymbol{x}_N=0$, 若所有的 $\sigma_j=\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{j}}$ $-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{P}_j \leqslant 0$ ，则该解为最优解。

1.2 求基本可行解的矩阵消元

考虑线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{z}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{X}\end{array}\right.$, 其变量为 $\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{X} \\ \boldsymbol{z}\end{array}\right]$, 为便于求解, 整理得方程组 $\left\{\begin{array}{c}0 \cdot z+\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b} \\ -z+\boldsymbol{C X}=\boldsymbol{0}\end{array}\right.$, 其增广矩阵见下表, 应用高斯消元法, 求解线性方程组的解。

常数项	z	XB	XN
b	0	B	N	（1-1）
0	-1	$C_B$	$C_N$	（1-2）

用 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 左乘方程组(1-1)的两端, 将 $\boldsymbol{X}_B$ 的系数化为单位矩阵, 得下表。

常数项	z	$$X_B$$	$$X_N$$
$B^{-1} b$	0	$B^{-1}B=E$	$B^{-1}N$	（1-3）
0	-1	$C_B$	$C_N$

将方程组（1-3）左乘 $-\boldsymbol{C}_B$ 加到方程（1-2）两边，消元化简得下表。

常数项	z	$X_B$	$X_N$
$B^{-1} b$	0	$$B^{-1}B=E$$	$$B^{-1}N$$
$$-C_BB^{-1}b$$	-1	$$C_B - C_BB^{-1}B = 0$$	$$C_N - C_BB^{-1}N$$	（1-4）

注意式(1-4)中基向量 $\boldsymbol{X}_B$ 、非基向量 $\boldsymbol{X}_N$ 的系数，它们形式相似，当前者 $\boldsymbol{C}_B-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B}=0$时，后者即为检验数 $\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{N}}-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{N}$ 的矩阵形式。也就是说，用消元法将目标函数中基变量的系数化为零的同时，就会得到非基变量的检验数。事实上， $\boldsymbol{C}_B-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{B}$ 也可看成基向量的检验数, 应用消元法后, 当基向量的检验数化为零时, 非基变量的系数 $\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{N}}-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{N}$ 就是其检验数。
从上述论述可知, 计算检验数的方法有两种：一是通过公式 $\sigma_j=c_j-\boldsymbol{C}_B \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{P}_j$ 计算得出；二是应用消元法，将目标函数中基向量的系数都化为零时，非基向量的系数就是检验数。这也是单纯表结构的出处。

1.3 单纯形法=逆矩阵法

单纯形法的核心思想是通过变换基本变量和非基本变量，找到一个新的基本可行解，并通过比较检验数判断该解是否为最优解。在单纯形法中，每一个基本可行解都对应着一个基矩阵的逆矩阵。基矩阵是从约束条件系数矩阵中选取的列所构成的矩阵，它的逆矩阵在每次迭代中都要更新。
这个逆矩阵的求解是单纯形法消元过程的核心，因为它直接影响到新解的生成和目标函数的优化。具体来说，当我们选择一个进入基的变量并排除一个离开基的变量时，这相当于对基矩阵进行了一次列替换操作。为了保持计算的有效性，我们需要快速更新逆矩阵。这通常通过一个修正的高斯消元法来完成，使得新基的逆矩阵可以通过旧基的逆矩阵迅速计算出来。
单纯形的每次迭代，都可以使用逆矩阵来计算检验数，从而判断是否可以进一步优化目标函数。检验数的计算过程依赖于逆矩阵，因为检验数用于评估当前解的可行性及其对目标函数的影响。如果所有检验数都满足最优性条件，那么当前解就是最优解；否则，我们需要通过逆矩阵的进一步操作继续迭代。
例1：已知初始单纯形表和最终单纯形表, 试求解以下问题。
（1）在初始单纯形表中找出最优基 $\boldsymbol{B}$ ，在最终单纯形表里找出 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 。
（2）完成最终单纯形表。(3) 给出最优解与最优值。

	$$C_B$$	$$X_B$$	$$B^{-1}b$$	$$x_1$$	$$x_2$$	$$x_3$$	$$x_4$$	$$x_5$$	$$x_6$$
初始表	0	$x_4$	60	3	1	1	1	0	0
	0	$x_5$	10	1	-1	2	0	1	0
	0	$x_6$	20	1	1	-1	0	0	1
	$σ_j$			2	-1	1	0	0	0
最终表		$x_4$						-1	-2
		$x_1$						1/2	1/2
		$x_2$						-1/2	1/2
	$σ_j$

确定最优基和$B^{-1}$

• 最优基 $\boldsymbol{B}$：从初始基变量$x_4$、$x_5$、$x_6$ 通过单纯形法操作，最终基变量变为$x_4$、$x_1$、$x_2$
• $B^{-1}$：通过最终单纯形表的$x_4$、$x_5$、$x_6$列得到 $B^{-1}$：

$$B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \\ \end{bmatrix}$$

计算$B^{-1}$

• 右端项$b = \begin{bmatrix} 60 \quad 10 \quad 20 \end{bmatrix}$

$$B^{-1}b = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & -1/2 & 1/2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 60 \\ 10 \\ 20 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 15 \\ 5 \\ \end{bmatrix}$$

计算最终单纯形表中的列向量
-$x_3$列向量计算：

• 初始表中$x_3$列为$[1, 2, -1]^T$

$$B^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0.5 \\ -1.5 \\ \end{bmatrix}$$

因此$x_3$列为$\begin{bmatrix} 1 \quad 0.5 \quad -1.5 \end{bmatrix}^T$。

计算检验数$σ_j$
目标函数为$z = 2x_1 -x_2+x_3$

• 基变量的成本系数向量$C_B = [0, 2, -1]$

变量	$$P_j$$	$$σ_j = c_j-C_B B^{-1}P_j$$	计算过程
$$x_1$$	$$\begin{bmatrix} 0 \quad 1 \quad 0 \end{bmatrix}$$	0	$$2-[0, 2, -1] \cdot \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} = 0$$
$$x_2$$	$$\begin{bmatrix} 0 \quad 0 \quad 1 \end{bmatrix}$$	0	$$-1-[0, 2, -1] \cdot \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} = 0$$
$$x_3$$	$$\begin{bmatrix} 1 \quad 0.5 \quad -1.5 \end{bmatrix}$$	-1.5	$$1-[0, 2, -1] \cdot \begin{bmatrix} 1 \ 0.5 \ -1.5 \end{bmatrix} = -1.5$$
$$x_4$$	$$\begin{bmatrix} 1 \quad 0 \quad 0 \end{bmatrix}$$	0	$$0-[0, 2, -1] \cdot \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} = 0$$
$$x_5$$	$$\begin{bmatrix} -1 \quad 0.5 \quad -0.5 \end{bmatrix}$$	-1.5	$$0-[0, 2, -1] \cdot \begin{bmatrix} -1 \ 0.5 \ -0.5 \end{bmatrix} = -1.5$$
$$x_6$$	$$\begin{bmatrix} -2 \quad 0.5 \quad 0.5 \end{bmatrix}$$	-0.5	$$0- [0, 2, -1] \cdot \begin{bmatrix} -2 \ 0.5 \ 0.5 \end{bmatrix} = -0.5$$

最终单纯形表

	$$C_B$$	$$X_B$$	$$B^{-1}b$$	$$x_1$$	$$x_2$$	$$x_3$$	$$x_4$$	$$x_5$$	$$x_6$$
最终表	0	$$x_4$$	10	0	0	1	1	-1	-2
	3	$$x_1$$	15	1	0	0.5	0	1/2	1/2
	2	$$x_2$$	5	0	1	-1.5	0	-1/2	1/2
	$$σ_j$$			0	0	-1.5	0	-1.5	-0.5

最优解与最优值

• 最优解：$X^*=\left[\begin{array}{llllll}15 & 5 & 0 & 10 & 0 & 0\end{array}\right]^T$。
• 最优值：$z^*=25$

二、单纯形的迭代步骤

例2：对于线性规划问题

$$\begin{array}{cc} \text { max } & 2 x_1+3 x_2 \\ \text { s.t. } & 4 x_1+x_2+x_3=16 \\ & -x_1+x_2+x_4=6 \\ & x_1, x_2, x_3, x_4>=0 \end{array}$$

其中， $x_3$ 和 $x_4$ 是松驰变量。

决策变量：$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x_1& x_2 & x_3 & x_4\end{array}\right]^T$ 是决策变量向量。
目标函数: Max $\mathbf{C}^T \mathbf{x}$ 其中， $\mathbf{C}=\left[\begin{array}{c}2\quad 3\quad 0 \quad0\end{array}\right]^T$ 为目标函数的系数向量。
约束条件: $\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$ ，其中 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}4 & 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 是约束系数矩阵。
$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}16 & 6\end{array}\right]^T$ 是约束右端项向量。因此，标准型的线性规划问题可以表示为：

$$\begin{aligned} & X_B=\left[x_3, x_4\right], X_N=\left[x_1, x_2\right], N=\left[\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right], C_B=[0,0], C_N =[2,3] \end{aligned}$$

初始化令 $X_N=[0,0]$

第一轮迭代:此时 $c_N-c_B B^{-1} N=[2,3]$ 因此选择 $x_2$ 作为入基变量更为高效，且 $$\theta =\min [\frac{16}{1},\frac{6}{1}]=6$$ 故$x_2$ 入基, $x_4$ 出基。经过此轮迭代后，各变量如下

$$\begin{aligned} & x_B=\left[x_3, x_2\right], x_N=\left[x_1, x_4\right], N=\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -1 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right], c_B=[0,3], c_N =[2,0] \end{aligned}$$

第二轮迭代:此时 $c_N-c_B B^{-1} N=[5,-3]$ ，选择 $x_1$ 作为入基变量更为高效，且

$$\theta =\min [\frac{16}{4}]=4$$

故$x_2$ 故 $x_1=4$ 并令 $x_3=0, x_1$ 入基， $x_3$ 出基。经过此轮迭代后，各变量如下

$$\begin{aligned} & x_B=\left[x_1, x_2\right], x_N=\left[x_3, x_4\right], N=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc} 4 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right], c_B=[2,3], c_N =[0,0] \end{aligned}$$

第三轮迭代:此时 $c_N-c_B B^{-1} N=[-1,-2]$ 都小于 0 ，达到收敛条件，此时令 $x_N=[0,0]$ 解得 $x_B=[2,8]$ 最小值为28。

可行域顶点	迭代路径

例3：求解下面线性模型

初始单纯形表

	$$x_1$$	$$x_2$$	$$x_3$$	$$x_4$$	$$x_5$$	$$b$$	$$\theta$$
约束 1	3	9	1	0	0	540
约束 2	5	5	0	1	0	450
约束 3	9	3	0	0	1	720
目标函数	70	30	0	0	0

判断当前顶点是否是最优解
对于最大化问题,若当前目标函数中的非基变量的系数小于等于0时，则所得的解为最优解。而在当前的例子中，非基变量的系数分别为70和30，意味着在可行域内随着非基变量$x_1$和$x_2$的增大，目标函数就会继续增大，因此当前的解不是最优解。故判断当前所得的解是否为最优解时，只需判断目标函数中非基变量的系数是否小于等于0。
进基和出基变量
变量的出基与入基，在几何图像上表现为顶点的变化。入基的规则为选择使目标函数z变化最快的非基变量入基，即选择系数最大且为正数的非基变量入基，故在本例中选择$x_1$入基。出基的规则则需要引入一个新的量$\theta$，$\theta=b/a_i$（$a_i$为非基变量系数，$a_i$的选择的是刚刚入基的非基变量的系数），选择最小的$\theta$出基。

	$$x_1$$	$$x_2$$	$$x_3$$	$$x_4$$	$$x_5$$	$$b$$	$$\theta$$
约束 1	3	9	1	0	0	540	180
约束 2	5	5	0	1	0	450	90
约束 3	9	3	0	0	1	720	80
目标函数	70	30	0	0	0

第一次迭代，经过$x_1$入基与$x_5$出基的运算后，得到的结果如下所示。

	$$x_1$$	$$x_2$$	$$x_3$$	$$x_4$$	$$x_5$$	$$b$$	$$\theta$$
$x_3$	0	8	1	0	-1/3	300
$x_4$	0	10/3	0	1	-5/9	50
$x_1$	1	1/3	0	0	1/9	80
$Z$	0	20/3	0	0	-70/9	5600

令非基变量的值为0，则得到第一次迭代的解，如下所示

$$X = \begin{pmatrix} x_1\quad x_2 \quad x_3\quad x_4 \quad x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 \quad 0 \quad 300 \quad 50 \quad 0 \end{pmatrix}^T \\ Z = 5600$$

判断该解是否为最优解(重复第二个步骤，直到是最优解为止)，显然由于非基变量$x_2$的检验数大于0，故当前位置还不是最优解，再次重复上面步骤。

三、练习

例4：用单纯表求解下面线性规划

$$Max \quad z = 2x_1 - x_2 + x_3\\ s.t. \begin{cases} 3x_1 + x_2 + x_3 \leq 60 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 \leq 10 \\ x_1 + x_2 - x_3 \leq 20 \\ x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{cases} ​$$

import pandas as pd
import numpy as np

"""
系数矩阵的形式:
       b  x1  x2  x3  x4  x5
obj    0  70  30   0   0   0
x3   540   3   9   1   0   0
x4   450   5   5   0   1   0
x5   720   9   3   0   0   1
①第一行是目标函数的系数；亦即各变量对应的检验数；第2~4行是约束条件的系数
②第一列是约束方程的常数项
③对于目标函数的更新我们同样采用矩阵的变换,所以obj对应的第一列表示的是目标函数的相反数
"""
"""
运行如下代码后得到的结果如下所示
最终的最优单纯性法是:
        b  x1   x2  x3   x4        x5
obj -5700   0  0.0   0 -2.0 -6.666667
x3    180   0  0.0   1 -2.4  1.000000
x2     15   0  1.0   0  0.3 -0.166667
x1     75   1  0.0   0 -0.1  0.166667
目标函数的值: 5700
最优决策变量是:
x1 = 75
x2 = 15
"""

# Initial Simplex tableau, set dtype to float to handle division correctly
matrix = pd.DataFrame(
    data=np.array([
        [0, 2, -1, 1, 0, 0, 0],
        [60, 3, 1, 1, 1, 0, 0],
        [10, 1, -1, 2, 0, 1, 0],
        [20, 1, 1, -1, 0, 0, 1]
    ], dtype=float),  # Explicitly set dtype to float
    index=['obj', 'x4', 'x5', 'x6'],
    columns=['b', 'x1', 'x2', 'x3', 'x4', 'x5', 'x6']
)

# Print the initial tableau
iteration = 1
print(f"第 {iteration} 个单纯性表是:")
print(matrix)

# Continue the iteration until no positive coefficients are in the objective function row
while True:
    # Check the coefficients of the objective function row (检验数)
    c = matrix.iloc[0, 1:]
    
    # Stop if all reduced costs are less than or equal to zero (optimal solution found)
    if c.max() <= 0:
        break
    
    iteration += 1

    # Choose entering variable (the one with the highest positive coefficient)
    in_x = c.idxmax()
    in_x_v = c[in_x]  # Coefficient of the entering variable

    # Choose leaving variable by calculating θ and finding the minimum
    b = matrix.iloc[1:, 0]
    in_x_a = matrix.iloc[1:][in_x]
    
    # Ensure no division by zero, and select the minimum positive theta value
    theta = b / in_x_a
    theta = theta[theta > 0]  # Consider only positive θ values
    
    if theta.empty:  # If theta is empty, break to avoid errors (degenerate case)
        print("No feasible solution found.")
        break
    
    out_x = theta.idxmin()

    # Pivoting: adjust the rows for the entering and leaving variables
    matrix.loc[out_x, :] = matrix.loc[out_x, :] / matrix.loc[out_x, in_x]
    for idx in matrix.index:
        if idx != out_x:
            matrix.loc[idx, :] -= matrix.loc[out_x, :] * matrix.loc[idx, in_x]

    # Update the basis
    basis = matrix.index.tolist()
    basis[basis.index(out_x)] = in_x
    matrix.index = basis

    # Print current tableau
    print(f"第 {iteration} 个单纯性表是:")
    print(matrix)

# Output the final results
print("最终的最优单纯形表是:")
print(matrix)
print("目标函数的值:", -matrix.iloc[0, 0])

# Determine the optimal decision variables
x_count = (matrix.shape[1] - 1) - (matrix.shape[0] - 1)
X = matrix.iloc[0, 1:].index.tolist()[:x_count]
print("最优决策变量是:")
for xi in X:
    if xi in matrix.index:  # Check if the variable is in the current basis
        print(f"{xi} = {matrix.loc[xi, 'b']}")
    else:
        print(f"{xi} = 0")  # If not in basis, the value is zero

第 1 个单纯性表是:
        b   x1   x2   x3   x4   x5   x6
obj   0.0  2.0 -1.0  1.0  0.0  0.0  0.0
x4   60.0  3.0  1.0  1.0  1.0  0.0  0.0
x5   10.0  1.0 -1.0  2.0  0.0  1.0  0.0
x6   20.0  1.0  1.0 -1.0  0.0  0.0  1.0
第 2 个单纯性表是:
        b   x1   x2   x3   x4   x5   x6
obj -20.0  0.0  1.0 -3.0  0.0 -2.0  0.0
x4   30.0  0.0  4.0 -5.0  1.0 -3.0  0.0
x1   10.0  1.0 -1.0  2.0  0.0  1.0  0.0
x6   10.0  0.0  2.0 -3.0  0.0 -1.0  1.0
最终的最优单纯形表是:
        b   x1   x2   x3   x4   x5   x6
obj -25.0  0.0  0.0 -1.5  0.0 -1.5 -0.5
x4   10.0  0.0  0.0  1.0  1.0 -1.0 -2.0
x1   15.0  1.0  0.0  0.5  0.0  0.5  0.5
x2    5.0  0.0  1.0 -1.5  0.0 -0.5  0.5
目标函数的值: 25.0
最优决策变量是:
x1 = 15.0
x2 = 5.0
x3 = 0

总结

单纯形法是线性规划问题中的一种经典算法，它通过逐步优化，找到能够最大化或最小化目标函数的可行解。尽管单纯形法在最坏情况下可能需要指数级时间，但在实际应用中，单纯形法通常能高效地找到最优解，因此它被广泛应用于各种线性规划问题中，例如生产计划、资源分配、运输优化等。
单纯形法的直观性在于从一个顶点开始沿边界移动到另一个顶点，不断提高目标函数值，直到达到最优解。这种方法简单且易于理解，对大多数线性规划问题都能有效求解。然而，单纯形法也存在一些局限性，例如在处理退化问题时可能会出现循环，导致算法陷入无限循环的困境。为了克服这些局限性，研究者们提出了多种改进方案，如反周期规则来防止循环、对偶单纯形法来处理不可行的初始解等。此外，内点法作为一种替代算法，通过从可行域的内部逼近最优解，提供了不同于单纯形法的求解思路，并且在某些情况下表现出更好的最坏情况性能。通过这些改进和新方法的引入，线性规划问题的求解在理论和实践上都得到了极大的丰富和发展，使得我们能够解决更复杂、更大规模的问题。这些进步不仅提升了算法的效率，也拓展了线性规划在各个领域的应用范围。单纯形法及其改进方法的持续发展，确保了线性规划在优化和决策问题中的核心地位。

参考文献

1. 线性规划-单纯形法推导
2. python最优化算法实战---线性规划之单纯形法