线性规划标准型精解

线性规划的标准型及其转化过程是理解和求解线性规划问题的基础。通过引入松弛变量、剩余变量和将自由变量转化为两个非负变量，可以将任意形式的线性规划问题转化为标准型。标准型的线性规划问题便于使用单纯形法等算法进行求解，从而找到最优解。了解这些概念和技巧，对于深入掌握线性规划理论和实践应用都非常重要。

一、线性规划的标准型

线性规划问题通常有两种常见的表示方式：一种是标准形式的线性规划形式，另一种是矩阵形式。

1.1 一般形式的标准型

• 目标函数

$$Max \quad Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \ldots + c_n x_n$$

• 约束条件

$$a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n = b_1 \\a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n = b_m$$

• 非负性约束

$$x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0$$

• 即

$$Max \quad Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \ldots + c_n x_n \\ \quad {s.t.} \left\{ \begin{array}{l} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1 n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2 n} x_n = b_2 \\ \ldots \ldots \ldots \\ a_{m 1} x_1 + a_{m 2} x_2 + \ldots + a_{m n} x_n = b_m \\ x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0 \end{array} \right.$$

线性规划的标准型有4个要求:目标最大化；变量均非负；右端均非负；约束为等式。

1.2 矩阵形式的标准型

• 目标函数

$$Max \quad Z = C^T X$$

• 约束条件

$$AX = b$$

• 非负性约束

$$X \geq 0$$

• 即

$$Max \quad Z =C^T X \\ \quad {s.t.} \left\{ \begin{array}{l} AX = b \\ X \geq 0 \end{array} \right.$$

其中

• $X$是一个$n$维变量向量，表示决策变量：
  $$X^T = (x_1,x_2, \ldots ,x_n )$$

• $C$是一个$n$维系数向量，表示目标函数中的系数：
  $$C^T= (c_1 ,c_2,\ldots,c_n )$$

• $A$是一个$m \times n$的矩阵，表示约束条件中的系数：
  $$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

• $b$ 是一个 $m$ 维向量，表示每个约束条件的右端常数项：
  $$b^T = (b_1,b_2,\ldots , b_m )$$

这两种形式都可以用来描述线性规划的最大化问题，并且它们之间是等价的。线性规划形式更直观，而矩阵形式更紧凑，通常用于理论分析和算法实现。

二、线性规划标准型的转化

线性规划模型：

$$\begin{aligned} \text{Max } \quad Z = 3x_1 + 4x_2 \\ \text{Subject to } \quad \begin{cases} x_1 + x_2 \leq 6 \\ x_1 + 2x_2 \leq 8 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{cases} \end{aligned}$$

线性规划的标准化涉及将所有约束转换为等式形式。通过引入松弛变量来将不等式约束转化为等式。

• 对于约束$x_1 + x_2 \leq 6$，引入松弛变量$x_3 \geq 0$，使得：
  $$x_1 + x_2 + x_3 = 6$$

• 对于约束$x_1 + 2x_2 \leq 8$，引入松弛变量$x_4 \geq 0$，使得：
  $$x_1 + 2x_2 + x_4 = 8$$

将以上引入的松弛变量加入到模型中，得到标准化的形式：

$$\begin{aligned} \text{Max } \quad Z = 3x_1 + 4x_2 \\ \text{Subject to } \quad \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ x_1 + 2x_2 + x_4 = 8 \\ x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0 \end{cases} \end{aligned}$$

2.1 处理目标函数

• 目标函数如果是最小化问题，需要将其转换为最大化问题。通常，通过对目标函数的系数取负来实现这一点。
• 如果目标函数已经是最大化形式，则直接使用。

假设初始目标函数为：

$$\text{Min } Z = -2x_1 + 3x_2$$

将其转化为最大化问题：

$$\text{Max } Z' = 2x_1 - 3x_2$$

2.2 处理约束条件

• 将所有不等式约束转化为等式约束。这通常通过引入松弛变量或剩余变量来实现：
  • 对于“小于等于”（≤）的约束，添加松弛变量使其变为等式。
  • 对于“大于等于”（≥）的约束，添加剩余变量并乘以-1以将其转化为等式。

假设有以下约束条件：

$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 \leq 10 \\ 3x_1 + x_2 \geq 15 \end{cases}$$

• 对于第一个约束$x_1 + 2x_2 \leq 10$，引入松弛变量$s_1 \geq 0$，得到：
  $$x_1 + 2x_2 + s_1 = 10$$

• 对于第二个约束$3x_1 + x_2 \geq 15$，引入剩余变量$s_2 \geq 0$，得到：

$$3x_1 + x_2 - s_2 = 15$$

2.3 处理决策变量

• 确保所有决策变量均为非负。如果有些变量没有非负约束，可以通过替换变量的方法使其满足非负性。例如，将变量$x$ 替换为$x = x' - x''$，其中$x', x'' \geq 0$。
  假设变量$x_1$没有非负约束，则可以引入两个新变量$x_1^+$和$x_1^-$，使得：

$$x_1 = x_1^+ - x_1^-, \quad x_1^+, x_1^- \geq 0$$

三、整合练习

$$Min \quad Z = x_1 + 2x_2 + 3x_3\\ \begin{aligned} & -2x_1 + x_2 + x_3 \leq 9 \\ & -3x_1 + x_2 + 2x_3\geq 4 \\ & 4x_1 - 2x_2 - 3x_3 = -6 \\ x_1 &\leq 0, \quad x_2 \geq 0, \quad x_3 \text{ 取值无约束} \end{aligned}$$

• 处理目标函数，将最小化问题转化为最大化问题：

$$\text{Max } Z' = -x_1 - 2x_2 - 3x_3$$

• 处理约束条件，将所有不等式约束转化为等式约束。使用松弛变量$s_1 \geq 0$和剩余变量$s_2 \geq 0$。

$$\begin{aligned} -2x_1 + x_2 + x_3 + s_1 & = 9 \quad (s_1 \geq 0) \\ -3x_1 + x_2 + 2x_3 - s_2 & = 4 \quad (s_2 \geq 0) \\ 4x_1 - 2x_2 - 3x_3 & = -6 \end{aligned}$$

• 处理决策变量。
  将$x_1 \leq 0$转化为$x_1 = -x_1', \, x_1' \geq 0$
  对于$x_3$无约束的情况，将$x_3 = x_3^+ - x_3^-$，其中$x_3^+, x_3^- \geq 0$。

• 标准型

$$\text{Max } Z' = x_1' - 2x_2 - 3x_3^+ + 3x_3^-\\ \begin{aligned} 2x_1' + x_2 + x_3^+ - x_3^- + s_1 &= 9 \\ 3x_1' + x_2 + 2x_3^+ - 2x_3^- - s_2 &= 4 \\ -4x_1' - 2x_2 - 3x_3^+ + 3x_3^- &= -6 \\ x_1', x_2, x_3^+, x_3^-, s_1, s_2 &\geq 0 \end{aligned}$$

• 总结
  目标函数： $Z' = x_1' - 2x_2 - 3x_3^+ + 3x_3^-$
  约束条件：

$$2x_1' + x_2 + x_3^+ - x_3^- + s_1 = 9\\3x_1' + x_2 + 2x_3^+ - 2x_3^- - s_2 = 4 \\-4x_1' - 2x_2 - 3x_3^+ + 3x_3^- = -6$$

决策变量非负性： $x_1', x_2, x_3^+, x_3^-, s_1, s_2 \geq 0$

以上就是将给定的线性规划模型转换为标准型的具体过程。

参考文献

1. 运筹学_1.1.3 线性规划问题-化标准型
2. 一、线性规划