线性规划数学模型精解

线性规划（Linear Programming, LP）是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下最大化或最小化目标函数。线性规划广泛应用于经济、工程、管理等领域，通过建立数学模型，帮助决策者找到最优解决方案。

一、线性规划数学模型

1.1 模型三要素

目标函数（Objective Function）
目标函数是线性规划中需要优化的函数，通常表示为线性形式。目标函数可以是需最大化的利润或最小化的成本。例如，在一个生产问题中，目标函数可以是某种商品的总利润，需要通过调整生产量来最大化这个值。目标函数的一般形式为：

Z = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + \dots + c_{n} x_{n}

$Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n$

其中： $Z$ 是目标值； $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是目标函数的系数； $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是决策变量。

约束条件（Constraints）
约束条件是限制决策变量取值范围的线性不等式或等式。这些条件通常反映了资源的有限性、技术限制等。例如，在生产问题中，约束条件可能包括生产时间、原材料、资金等的限制。约束条件的一般形式为：

\begin{aligned} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & \leq b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & \leq b_{2} \\ ⋮ & ⋱ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & \leq b_{m} \end{aligned}

$\begin{align*} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n &\leq b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n &\leq b_2 \\ \vdots \quad \quad &\ddots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n &\leq b_m \\ \end{align*}$

其中： $a_{ij}$ 是约束条件的系数； $b_i$ 是约束条件的右端常数； $m$ 是约束条件的数量。

非负性约束（Non-negativity Constraints）
在大多数实际问题中，决策变量通常需要非负，即每个变量必须大于或等于零。这反映了实际情况中物理量（如生产量、时间等）不能为负值。非负性约束的一般形式为： $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0$

1.2 建模过程

问题描述：某公司生产两种产品A和B，每生产一单位A可获利3元，每生产一单位B可获利5元。生产A需要2小时工作时间和1单位原材料，生产B需要1小时工作时间和2单位原材料。现公司有100小时工作时间和80单位原材料。问公司应如何安排生产才能使利润最大化？

决策变量
- 设 $x_1$ 为产品A的生产数量，
- 设 $x_2$ 为产品B的生产数量。
目标函数
需要最大化利润，目标函数为：

Maximize Z = 3 x_{1} + 5 x_{2}

$\text{Maximize } Z = 3x_1 + 5x_2$

约束条件
- $2x_1 + x_2 \leq 100$ （工作时间约束）
- $x_1 + 2x_2 \leq 80$ （原材料约束）
可行性约束
- $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$

通过上述步骤，建立了一个完整的线性规划数学模型。该模型可以通过图解法、单纯形法或其他优化算法求解，从而找到最优生产方案。线性规划不仅为决策者提供了一种系统化的决策工具，而且在资源优化配置方面具有重要意义。

1.3 图解法

\begin{aligned} max & z = 2 x_{1} + 2 x_{2} \\ s.t. & 5 x_{1} + 2 x_{2} \leq 15 \\ 6 x_{1} + 2 x_{2} \leq 24 \\ x_{1} + x_{2} \leq 5 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \max \quad & z = 2x_1 + 2x_2 \\ \text{s.t.} \quad & 5x_1 + 2x_2 \leq 15 \\ & 6x_1 + 2x_2 \leq 24 \\ & x_1 + x_2 \leq 5 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{align*}$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import linprog

# 定义绘图的范围
x1 = np.linspace(0, 10, 400)

# 定义约束条件
y1 = 15 / 5
y2 = (24 - 6 * x1) / 2
y3 = 5 - x1

# 绘制可行域
plt.figure(figsize=(10, 8))
plt.plot(x1, y2, label=r'$6x_1 + 2x_2 \leq 24$')
plt.plot(x1, y3, label=r'$x_1 + x_2 \leq 5$')
plt.axhline(y=y1, color='r', linestyle='-', label=r'$5x_2 \leq 15$')
plt.xlim((0, 10))
plt.ylim((0, 10))
plt.xlabel(r'$x_1$')
plt.ylabel(r'$x_2$')

# 填充可行域
plt.fill_between(x1, 0, np.minimum(np.minimum(y1, y2), y3), where=(x1<=10), color='grey', alpha=0.5)

# 标记可行域
plt.legend()

# 求解线性规划问题
c = [-2, -1]  # 因为linprog求解的是最小化问题，所以目标函数取反
A = [[6, 2], [1, 1], [0, 5]]
b = [24, 5, 15]

# 使用linprog求解
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=(0, None), method='highs')

if res.success:
    # 绘制目标函数的最优解点
    plt.plot(res.x[0], res.x[1], 'ro', label='Optimal Solution')
    plt.legend()
    plt.show()

    print(f"Optimal value: {res.fun * -1:.2f}")  # 最大化目标函数的最优值
    print(f"Optimal solution: x1 = {res.x[0]:.2f}, x2 = {res.x[1]:.2f}")
else:
    print("No solution found")

二、建模示例

1.1 例1

某公司在计划期内要安排生产A、B两种产品（假设市场销路很好）。生产单位产品的利润以及所需的劳动力、设备台时以及原材料的消耗资料如下表所示。

产品	A	B
劳动力（工时）	9	4	360
设备（台时）	4	5	200
原材料（千克）	3	10	300
单位产品利润	70	120

决策变量
- 设 $x_1$ 为产品A的生产数量
- 设 $x_2$ 为产品B的生产数量
目标函数
最大化利润，目标函数为：

Maximize Z = 70 x_{1} + 120 x_{2}

$\text{Maximize } Z = 70x_1 + 120x_2$

约束条件
- 劳动力约束： $9x_1 + 4x_2 \leq 360$
- 设备台时约束： $4x_1 + 5x_2 \leq 200$
- 原材料约束： $3x_1 + 10x_2 \leq 300$
- 非负性约束： $x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$

将上述内容整合，线性规划的数学模型为：

Maximize Z = 70 x_{1} + 120 x_{2}

$\text{Maximize } Z = 70x_1 + 120x_2$

subject to

$\text{subject to}$

9 x_{1} + 4 x_{2} \leq 360

$9x_1 + 4x_2 \leq 360$

4 x_{1} + 5 x_{2} \leq 200

$4x_1 + 5x_2 \leq 200$

3 x_{1} + 10 x_{2} \leq 300

$3x_1 + 10x_2 \leq 300$

x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0

$x_1 \geq 0, x_2 \geq 0$

这个数学模型可以通过图解法或使用线性规划求解器（如linprog）求解，从而找到最优的生产数量 $x_1$ 和 $x_2$ 以使得公司利润最大化。

1.2 例2

已知三种食物P,Q,R的维生素含量与成本如下表所示：

食物	维生素A (单位/kg)	维生素B (单位/kg)	成本 (元/kg)
食物P	400	800	6
食物Q	600	200	5
食物R	400	400	4

现在将的食物P,Q,R混合制成 100 kg 的混合物。要求这 100 kg 的混合物中至少含有维生素A 48000 单位与维生素B 44000 单位，那么如何混合配比该混合物的成本最小？

变量定义
- $x_1$ : 食物 P 的重量 (kg)
- $x_2$ : 食物 Q 的重量 (kg)
- $x_3$ : 食物 R 的重量 (kg)
目标函数

Minimize 6 x_{1} + 5 x_{2} + 4 x_{3}

$\text{Minimize} \quad 6x_1 + 5x_2 + 4x_3$

约束条件
- 总重量为100 kg: $x_1 + x_2 + x_3 = 100$
- 维生素A至少含有48000单位: $x_1 + 600x_2 + 400x_3 \ge 48000$
- 维生素B至少含有44000单位: $800x_1 + 200x_2 + 400x_3 \ge 44000$
- 非负约束: $x_1 \ge 0, \quad x_2 \ge 0, \quad x_3 \ge 0$
数学模型

\begin{aligned} Minimize & 6 x_{1} + 5 x_{2} + 4 x_{3} \\ subject to \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 100, \\ 400 x_{1} + 600 x_{2} + 400 x_{3} \geq 48000, \\ 800 x_{1} + 200 x_{2} + 400 x_{3} \geq 44000, \\ x_{1} \geq 0, \\ x_{2} \geq 0, \\ x_{3} \geq 0. \end{aligned}

$\begin{aligned} &\text{Minimize} && 6x_1 + 5x_2 + 4x_3 \\ &\text{subject to} \\ & && x_1 + x_2 + x_3 = 100, \\ & && 400x_1 + 600x_2 + 400x_3 \ge 48000, \\ & && 800x_1 + 200x_2 + 400x_3 \ge 44000, \\ & && x_1 \ge 0, \\ & && x_2 \ge 0, \\ & && x_3 \ge 0. \end{aligned}$

from scipy.optimize import linprog
import numpy as np

# 目标函数系数
c = np.array([6, 5, 4])

# 不等式约束系数矩阵和右端向量
A = np.array([
    [-400, -600, -400],  # 转化为<=约束
    [-800, -200, -400]   # 转化为<=约束
])
b = np.array([-48000, -44000])

# 等式约束系数矩阵和右端向量
A_eq = np.array([
    [1, 1, 1]
])
b_eq = np.array([100])

# 变量非负约束
bounds = [(0, None), (0, None), (0, None)]

# 求解线性规划问题
result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, bounds=bounds, method='highs')

# 输出结果
if result.success:
    print("各食物的最优供应量（kg）:")
    print(f"食物 P: {result.x[0]:.2f} kg")
    print(f"食物 Q: {result.x[1]:.2f} kg")
    print(f"食物 R: {result.x[2]:.2f} kg")
    print(f"最小成本: {result.fun:.2f} 元")
else:
    print("未找到最优解")

各食物的最优供应量（kg）:
食物 P: 30.00 kg
食物 Q: 40.00 kg
食物 R: 30.00 kg
最小成本: 500.00 元

三、练习案例

每种蓅菜含有的营养素成份是不同的, 从医学上知道每人每周对每种营养成分的最低需求量。某医院营养室在制定下一周菜单时, 需要确定表中所列六种蔬菜的供应量, 以便使费用最小而又能满足营养素等其它方面的要求。规定白菜的供应一周内不多于 20 kg , 其它蔬菜的供应在一周内不多于 40 kg , 每周共需供应 140 kg 蔬菜, 为了使费用最小又满足营养素等其它方面的要求,问在下一周内应当供应每种疏菜各多少 kg ?

序号	蔬菜	铁	磷	维生素A	维生素C	烟酸	每千克费用
1	青豆	0.45	10	415	8	0.30	5
2	胡萝卜	0.45	28	9065	3	0.35	5
3	菜花	1.05	59	2550	53	0.60	8
4	白菜	0.40	25	75	27	0.15	2
5	甜菜	0.50	22	15	5	0.25	6
6	土豆	0.50	75	235	8	0.80	3

要求蔬菜提供的营养	铁	磷	维生素A	维生素C	烟酸	备注
要求值	6.00	25	17500	245	5.00

决策变量
设 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ 分别为青豆、胡萝卜、菜花、白菜、甜菜、土豆的供应量（kg）。
目标函数

Minimize Z = 5 x_{1} + 5 x_{2} + 8 x_{3} + 2 x_{4} + 6 x_{5} + 3 x_{6}

$\text{Minimize } Z = 5x_1 + 5x_2 + 8x_3 + 2x_4 + 6x_5 + 3x_6$

约束条件
满足营养需求，每种蔬菜的供应量上限，以及总供应量。
- 铁的约束： $0.45x_1 + 0.45x_2 + 1.05x_3 + 0.40x_4 + 0.50x_5 + 0.50x_6 \geq 6.00$
- 磷的约束： $10x_1 + 28x_2 + 59x_3 + 25x_4 + 22x_5 + 75x_6 \geq 25$
- 维生素A的约束： $415x_1 + 9065x_2 + 2550x_3 + 75x_4 + 15x_5 + 235x_6 \geq 17500$
- 维生素C的约束： $8x_1 + 3x_2 + 53x_3 + 27x_4 + 5x_5 + 8x_6 \geq 245$
- 烟酸的约束： $0.30x_1 + 0.35x_2 + 0.60x_3 + 0.15x_4 + 0.25x_5 + 0.80x_6 \geq 5$
- 蔬菜供应量上限： $x_4 \leq 20 \quad x_1, x_2, x_3, x_5, x_6 \leq 40$
- 总供应量： $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 140$
非负性约束：

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6} \geq 0

$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0$

数学模型

\begin{aligned} Minimize Z = & 5 x_{1} + 5 x_{2} + 8 x_{3} + 2 x_{4} + 6 x_{5} + 3 x_{6} \\ subject to \\ 0.45 x_{1} + 0.45 x_{2} + 1.05 x_{3} + 0.40 x_{4} + 0.50 x_{5} + 0.50 x_{6} \geq 6.00 \\ 10 x_{1} + 28 x_{2} + 59 x_{3} + 25 x_{4} + 22 x_{5} + 75 x_{6} \geq 25 \\ 415 x_{1} + 9065 x_{2} + 2550 x_{3} + 75 x_{4} + 15 x_{5} + 235 x_{6} \geq 17500 \\ 8 x_{1} + 3 x_{2} + 53 x_{3} + 27 x_{4} + 5 x_{5} + 8 x_{6} \geq 245 \\ 0.30 x_{1} + 0.35 x_{2} + 0.60 x_{3} + 0.15 x_{4} + 0.25 x_{5} + 0.80 x_{6} \geq 5 \\ x_{4} \leq 20 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{5}, x_{6} \leq 40 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 140 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Minimize } Z = & 5x_1 + 5x_2 + 8x_3 + 2x_4 + 6x_5 + 3x_6 \\ \text{subject to } & \\ & 0.45x_1 + 0.45x_2 + 1.05x_3 + 0.40x_4 + 0.50x_5 + 0.50x_6 \geq 6.00 \\ & 10x_1 + 28x_2 + 59x_3 + 25x_4 + 22x_5 + 75x_6 \geq 25 \\ & 415x_1 + 9065x_2 + 2550x_3 + 75x_4 + 15x_5 + 235x_6 \geq 17500 \\ & 8x_1 + 3x_2 + 53x_3 + 27x_4 + 5x_5 + 8x_6 \geq 245 \\ & 0.30x_1 + 0.35x_2 + 0.60x_3 + 0.15x_4 + 0.25x_5 + 0.80x_6 \geq 5 \\ & x_4 \leq 20 \\ & x_1, x_2, x_3, x_5, x_6 \leq 40 \\ & x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 140 \\ & x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6 \geq 0 \end{align*}$

#求解程序

import pulp

# 定义问题
prob = pulp.LpProblem("Vegetable Supply Problem", pulp.LpMinimize)

# 定义变量
x1 = pulp.LpVariable('青豆', lowBound=0)
x2 = pulp.LpVariable('胡萝卜', lowBound=0)
x3 = pulp.LpVariable('菜花', lowBound=0)
x4 = pulp.LpVariable('白菜', lowBound=0, upBound=20)
x5 = pulp.LpVariable('甜菜', lowBound=0)
x6 = pulp.LpVariable('土豆', lowBound=0)

# 目标函数
prob += 5*x1 + 5*x2 + 8*x3 + 2*x4 + 6*x5 + 3*x6, "Total Cost"

# 约束条件
prob += x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 == 140, "Total Supply"
prob += 0.45*x1 + 0.45*x2 + 1.05*x3 + 0.40*x4 + 0.50*x5 + 0.50*x6 >= 6, "Iron Requirement"
prob += 10*x1 + 28*x2 + 59*x3 + 25*x4 + 22*x5 + 75*x6 >= 25, "Phosphorus Requirement"
prob += 415*x1 + 9065*x2 + 2550*x3 + 75*x4 + 15*x5 + 235*x6 >= 17500, "Vitamin A Requirement"
prob += 8*x1 + 3*x2 + 53*x3 + 27*x4 + 5*x5 + 8*x6 >= 245, "Vitamin C Requirement"
prob += 0.30*x1 + 0.35*x2 + 0.60*x3 + 0.15*x4 + 0.25*x5 + 0.80*x6 >= 5, "Niacin Requirement"
prob += x1 <= 40, "Green Peas Upper Limit"
prob += x2 <= 40, "Carrots Upper Limit"
prob += x3 <= 40, "Cauliflower Upper Limit"
prob += x4 <= 20, "Chinese Cabbage Upper Limit"
prob += x5 <= 40, "Beet Upper Limit"
prob += x6 <= 40, "Potato Upper Limit"

# 求解问题
prob.solve()

# 打印结果
if pulp.LpStatus[prob.status] == 'Optimal':
    print("每种蔬菜的最优供应量（kg）:")
    print(f"青豆: {pulp.value(x1):.2f} kg")
    print(f"胡萝卜: {pulp.value(x2):.2f} kg")
    print(f"菜花: {pulp.value(x3):.2f} kg")
    print(f"白菜: {pulp.value(x4):.2f} kg")
    print(f"甜菜: {pulp.value(x5):.2f} kg")
    print(f"土豆: {pulp.value(x6):.2f} kg")
    print(f"最小费用: {pulp.value(prob.objective):.2f} 元")
else:
    print("未找到最优解")

每种蔬菜的最优供应量（kg）:
青豆: 40.00 kg
胡萝卜: 40.00 kg
菜花: 0.00 kg
白菜: 20.00 kg
甜菜: 0.00 kg
土豆: 40.00 kg
最小费用: 560.00 元

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posted @ 2024-07-15 12:13 郝hai 阅读(793) 评论(0) 编辑收藏举报

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