最大化运输问题求解——Python实现

运输问题（Transportation Problem）是运筹学中的经典问题，通常涉及将资源从供应点转移到需求点，以最小化运输成本或满足需求。这个问题在各种实际场景中都有广泛的应用。如在供应链管理中，最小化运输问题可用于确定最有效的货物运输方式，以满足各个节点之间的需求。这包括原材料从供应商到制造商、成品从制造商到分销商、以及最终产品从分销商到消费者的运输。最大化运输问题关注的是如何最优地分配有限的资源，以在给定约束条件下实现运输总量的最大化，这类问题在物流、供应链管理、生产规划等领域有着广泛的应用，最大化的运输问题可以通过适当的转化转换为最小化运输问题。

一、最小化运输问题

最小化运输问题(transportation problem) 属于线性规划问题，可以根据模型按照线性规划的方式求解，但由于其特殊性，用常规的线性规划来求解并不是最有效的方法，它是运输问题的标准型，后面简称为运输问题。

1.1运输问题的数学模型

一般地，产销平衡的运输问题可以表述为：设有$m$个地点（称为产地或发地）$A_1$,$A_2$,...,$A_m$的某种物资调至$n$个地点（称为销地或收地）$B_1$,$B_2$,...,$B_n$，各个产地需要调出的物资量分别为$a_i$单位，各个销地需要调进的物资量分别为$b_j$ 单位，且各个发点的供应量之和等于各个收点的需求量之和。已知每个发点$A_i$ 到每个收点$B_j$ 调运单位物资的价格为$c_{ij}$，现问如何安排调运，才能使总运费最小。
于是得产销平衡运输问题的数学模型：

$min$ $z$ = $\sum_{i=1}^m$$\sum_{j=1}^n$$c_{ij}$$x_{ij}$
$\sum_{j=1}^n$$x_{ij}$=$a_i$ $i=1,2,...,m$
$\sum_{i=1}^m$$x_{ij}$=$b_j$ $j=1,2,...,n$
$x_{ij} \geq 0$   $i=1,2,...,m,j=1,2,...,n$
不平衡运输问题只要简单地调整约束的松紧关系即得。

1.2 Python计算程序

例1： 有三个造纸厂A1、A2 和A3，造纸量分别为16 个单位、10 个单位和22 个单位，四个客户B1、B2、B3 和B4 的需求量分别为8 个单位、14 个单位、12 个单位和14 个单位。造纸厂到客户之间的单位运价如表所示，确定总运费最少的调运方案。单位运价表如下所示：

 [[ 4 12  4 11]
 [ 2 10  3  9]
 [ 8  5 11  6]]

总产量等于总销量，都为48个单位，这是一个产销平衡的运输问题。

Python代码及运行结果如下:

import pulp
import numpy as np
from pprint import pprint

def transportation_problem(costs, x_max, y_max):

    row = len(costs)
    col = len(costs[0])
    prob = pulp.LpProblem('Transportation Problem', sense=pulp.LpMinimize)
    var = [[pulp.LpVariable(f'x{i}{j}', lowBound=0, cat=pulp.LpInteger) for j in range(col)] for i in range(row)]
    flatten = lambda x: [y for l in x for y in flatten(l)] if type(x) is list else [x]
    prob += pulp.lpDot(flatten(var), costs.flatten())
    for i in range(row):
        prob += (pulp.lpSum(var[i]) == x_max[i])
    for j in range(col):
        prob += (pulp.lpSum([var[i][j] for i in range(row)]) == y_max[j])

    prob.solve()
    return {'objective':pulp.value(prob.objective), 'var': [[pulp.value(var[i][j]) for j in range(col)] for i in range(row)]}

if __name__ == '__main__':
    costs = np.array([[4, 12, 4, 11],
                      [2, 10, 3, 9],
                      [8, 5, 11, 6]])
    max_plant = [16, 10, 22]
    max_cultivation = [8, 14, 12, 14]
    res = transportation_problem(costs, max_plant, max_cultivation)

    print(f'最小值为{res["objective"]}')
    print('各变量的取值为：')
    pprint(res['var'])

二、最大化运输问题

随着已知条件的不同，比如在运输中考虑的是单位利润，就得到最大化运输问题。

2.1 最大化运输问题

运输问题是一个经典的线性规划问题，涉及到如何在满足一定约束条件的情况下，最小化或最大化某种运输成本或收益。产销平衡的运输问题可以表述为：设有$m$个地点（称为产地或发地）$A_1$,$A_2$,...,$A_m$的某种物资调至$n$个地点（称为销地或收地）$B_1$,$B_2$,...,$B_n$，各个产地需要调出的物资量分别为$a_i$单位，各个销地需要调进的物资量分别为$b_j$ 单位，且各个发点的供应量之和等于各个收点的需求量之和。已知每个发点$A_i$ 到每个收点$B_j$ 调运单位物资的利润为$r_{ij}$，见下表，现问如何安排调运，才能使总利润最大。

产地 销地	$B_1$	$B_2$	...	$B_n$	供应量
$A_1$	$r_{11}$	$r_{12}$	...	$r_{1n}$	$a_1$
$A_2$	$r_{21}$	$r_{22}$	...	$r_{2n}$	$a_2$
...	...	...	...	...	...
$A_m$	$r_{m1}$	$r_{m2}$	...	$r_{mn}$	$a_m$
需求量	$b_1$	$b_2$	...	$b_n$	$\sum_{j=1}^{n}{b_j}=\sum_{i=1}^{m}{a_i}$

设$x_{ij}$表示从从第$i$个产地到第$j$个销地的货物运输量。于是得产销平衡最大化运输问题的数学模型：
$max$ $z$ = $\sum_{i=1}^m$$\sum_{j=1}^n$$r_{ij}$$x_{ij}$
$\sum_{j=1}^n$$x_{ij}$=$a_i$ $i=1,2,...,m$
$\sum_{i=1}^m$$x_{ij}$=$b_j$ $j=1,2,...,n$
$x_{ij} \geq 0$   $i=1,2,...,m,j=1,2,...,n$
不平衡运输问题只要简单地调整约束的松紧关系即得。

例2： 某三个煤炭厂供应3个地区，假定等量的煤炭在这些地区使用效果相同，已知各煤炭厂年产量，各地区的需要量及从各煤炭厂到各地区的单位利润如下表所示，试决定最优的调运方案。

表1	$B_1$​	$B_2$​	$B_3$​	产量
$A_1$	2	5	8	9
$A_2$​	9	10	7	10
$A_3$​	6	5	4	12
销量	8	14	9

若产地（煤炭厂）$A_i(i = 1,2,3 )$ 到销地（地区）$B_j( j = 1,2,3 )$的运量为$x_{ij}$，建立的数学模型如下形式：

$$\begin{array}{lcl} \rm maxZ = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} r_{ij} x_{ij} \\ \rm s.t\begin{cases} \rm \sum_{j = 1}^{n} x_{ij} = a_i \ \ \ \ ( \ i = 1, 2,3, \cdots , m \ ) \\\\ \rm \sum_{i = 1}^{m} x_{ij} = b_j \ \ \ \ ( \ j = 1, 2,3, \cdots , n \ ) \\\\ \rm x_{ij} \geq 0 \ \ \ \ ( \ i = 1, 2,3, \cdots , m \ \ ; \ \ j = 1, 2,3, \cdots , n \ ) \end{cases}\end{array}$$

该模型就是最大化运输问题的数学模型，目标函数求最大。为不重复建立理论可将最大化运输问题转化为最小化的运输问题, 给目标函数所有的数都乘以-1，得表2

表2	$B_1$​	$B_2$​	$B_3$​	产量
$A_1$	-2	-5	-8	9
$A_2$​	-9	-10	-7	10
$A_3$​	-6	-5	-4	12
销量	8	14	9

在所有值都变为负数后, 为了方便计算, 给所有的值都加上一个正数, 计算的数值虽然不同, 但是最终的运输方案相同，最后重新代入原模型计算最优值即可。如加上 14 , 表格变为:

表3	$B_1$​	$B_2$​	$B_3$​	产量
$A_1$	12	9	6	9
$A_2$​	5	4	7	10
$A_3$​	8	9	10	12
销量	8	14	9

求解最小化运输问题得出最优解，然后代入原目标函数即可求出最大利润。

3.2 考研试题1

某超市在外地采购 A,B,C,D四种规格的服装，数量分别为：A——1300套，B——2000套，C——3000套，D——3500套。有三个城市供应上述规格的服装且质量、运价和销量情况不同, 预计售出后的利润也不同, 详见下表。请为该公司制定一个预期总利润最大的采购方案。

城市	服装 A	服装 B	服装 C	服装D	产量/套
I	10	5	6	7	2500
II	8	2	7	6	2500
III	9	3	4	8	5000
采购量/套	1500	2000	3000	3500	10000\10000

该运输问题的数学模型为

$$\max z=\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n r_{i j} x_{i j}\\ \begin{aligned} & \sum_{j=1}^n x_{i j}=a_i \quad(i=1,2, \cdots, m) \\ & \sum_{i=1}^m x_{i j}=b_j \quad(j=1,2, \cdots, n) \\ & x_{i j} \geqslant 0\end{aligned}$$

由于是最大化运输问题，所以用一个常数(常选择单位利润中的最大数) 减去单位利润表本中的各数, 再运用表上作业法求出最优解，然后代入原目标函数就得最大值。利用上表中最大的数 10 减去表中的每个数, 得到下表：

城市	服装 A	服装 B	服装 C	服装D	产量/套
I	0	5	4	3	2500
II	2	8	3	4	2500
III	1	7	6	2	5000
采购量/套	1500	2000	3000	3500	10000\10000

最后可得最优解为

城市	服装 A	服装 B	服装 C	服装D	产量/套
I		2000	500		2500
II			2500		2500
III	1500			3500	5000
采购量/套	1500	2000	3000	3500	10000\10000

最大利润为

$$\begin{gathered} 1500 \times 9 \text { 元 }+2000 \times 5 \text { 元 }+500 \times 6 \text { 元 }+2500 \times 7 \text { 元 } \\ +3500 \times 8 \text { 元 } =72000 \text { 元 } \end{gathered}$$

3.3 考研试题2

某自行车制造公司设有两个装配厂, 且在四个地区有销售公司。两个装配厂的有关数据如表I所示，四个销售公司的需求量如表II所示，从两个装配厂到四个销售公司的运价表如表III所示。各家销售公司需要的自行车应由哪个厂装配,才能保证公司获得最大利润?

$$\begin{array}{c|c|c} \hline 表I\quad 装配厂 & A & B \\ \hline 产量 / 辆 & 1100 & 1000 \\ \hline 装配费用 / (元 /辆 ) & 45 & 55 \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline 表II \quad 销售公司 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 需求量 / 辆 & 500 & 300 & 550 & 650 \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline 表III \quad 装配厂 \quad 销售公司 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 装配厂A & 9 & 4 & 7 & 18 \\ \hline 装配厂B & 2 & 17 & 15 & 8 \\ \hline \end{array}$$

解 本题是求公司的最大利润, 但题目没有告诉每辆自行车的售价, 可以把价格看作是确定的 (因为生产量是确定的)，求利润最大，其实就是求成本最小。此题有装配费用，但由于生产量是确定的，所以装配费用也是确定的。
本题两个装配厂生产量为 2100 辆, 而四个销售公司的需求量为 2000 辆。为了达到产销平衡，虚拟一个销售公司 5，它的销售量为 100 辆。装配厂到虚拟销售公司的运价为 0，产销平衡的单位运价表如下所示。

装配厂	销售公司1	销售公司2	销售公司3	销售公司4	销售公司5	生产量 / 辆
装配厂 A	9	4	7	18	0	1100
装配厂 B	2	17	15	8	0	1000
销售量 / 辆	500	300	550	650	100	2100 \2100

应用表上作业法求出最优解，见下表所示。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \hline 装配厂\quad 销售公司 & 1 & 2 & 3 & 4 &5 & 生产量/辆 \\ \hline 装配厂 A & 150 & 300 & 550 & & 100 & 1100 \\ \hline 装配厂 B & 350 & & & 650 & & 1000\\ \hline 销售量 / 辆 & 500 & 300 & 550 & 650 & 100 & \\ \hline \end{array}$$

注 本题也可以把装配费用加到运价表中，所得的最优解是相同的。这是因为在运输问题的单位运价表的某一行加上一个常数,最优解不变。

三、练习题

3.1 练习1

某化学公司有甲、乙、丙、丁四个化工厂生产某种产品，产量分别为 $200 、 300、400、100(\mathrm{t})$，供应I、II、III、IV、V、VI六个地区的需要, 需要量分别为 $200、150、400、100、150、150(t)$。由于工艺、技术等条件差别，各厂每 $\mathrm{kg}$ 产品成本分别为1.2、1.4、1.1、1.5(元)，又由于行情不同，各地区销售价分别为 $2.0、2.4、1.8、2.2、1.6、2.0($ 元 $/ \mathrm{kg})$ 。已知从各厂运往各销售地区每 $\mathrm{kg}$ 产品运价如下表所示。如第III个地区至少供应100t，第IV个地区的需要必须全部满足，试确定使该公司获利最大的产品调运方案。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \hline 工厂\quad 地区 & I & II & III & IV & V & VI \\ \hline 甲 & 0.5 & 0.4 & 0.3 & 0.4 & 0.3 & 0.1 \\ 乙 & 0.3 & 0.8 & 0.9 & 0.5 & 0.6 & 0.2 \\ 丙 & 0.7 & 0.7 & 0.3 & 0.7 & 0.4 & 0.4 \\ 丁 & 0.6 & 0.4 & 0.2 & 0.6 & 0.5 & 0.8 \\ \hline \end{array}$$

假设：$x_{ij}$为从工厂$i$运往地区$j$ 的产品量（以千克为单位），$c_{ij}$为从工厂$i$运往地区$j$ 每千克产品的运价，$s_i$为工厂$i$ 生产的产品总量（以千克为单位）,$d_j$ 为地区$j$的需求量（以千克为单位），$p_i$为工厂$i$ 生产的每千克产品的成本，$r_j$为地区$j$销售的每千克产品的价格。数学模型如下：

$$max⁡\sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^6(r_j−p_i−c_{ij})x_{ij}$$

约束条件：

每个工厂的产品供应不能超过其产量：$\sum_{j=1}^{6} x_{ij} \leq s_i$，其中 $i=1,2,3,4$;
每个地区的需求必须得到满足：$\sum_{i=1}^{4} x_{ij} \geq d_j$，其中 $j=1,2,3,4,5,6$;
第III个地区至少供应100t：$x_{i3}\geq 100$，其中 $i=1,2,3,4$;
第IV个地区的需求必须全部满足：$\sum_{i=1}^{4} x_{i4} = d_4$。

这样建立的数学模型可以通过线性规划方法求解，得到使公司获利最大的产品调运方案。

3.2 练习2

已知某工厂生产 $\mathrm{A}、\mathrm{~B}$ 两种产品，月产能为 300 件、500 件，有甲乙两个经销商，对应的月需求量分别为 $400、300$ 件。受经营环境限制，要求A产品至少销售250件，且甲经销商获得B产品的数量不多于200件，各经销商售卖产品利润如下表所示，试确定最大利润及分配方案。（北京交通大学2001真题）

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & 甲 & 乙 & 供应量 \\ \hline A & 5 & 7 & 300 \\ \hline B & 12 & 8 & 500 \\ \hline 需求量 & 400 & 300 & \\ \hline \end{array}$$

3.3 练习3

某玩具公司分别生产三种新型玩具, 每月可供应分别为 1000 件、2000件和 2000 件, 它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为 1500 件,由于经营方面原因, 各商店销售不同玩具的盈利额不同(见下表)。又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件, 而拒绝进 A 玩具。求满足上述条件下使总利润额为最大的供销分配方案。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline & 甲 & 乙 & 丙 & 可供量 \\ \hline \mathbf{A} & 5 & 4 & - & 1000 \\ \mathbf{B} & 16 & 8 & 9 & 2000 \\ \mathbf{C} & 12 & 10 & 11 & 2000 \\ \hline \end{array}$$

四、总结

最大化运输问题涉及在有限资源和供需之间找到最佳的分配方案，以最大化总运输量或利润，该问题通常使用线性规划方法求解，考虑到各供应地点到需求地点的运输成本、供需之间的配额限制以及各地点之间的运输容量限制。解决此问题的关键是建立一个有效的运输网络模型，其中节点表示供应地点和需求地点，边表示可能的运输路径，并确保在满足供需约束的同时最大化总运输量或利润。在生产规划领域，最大化运输问题要求如何最优地安排生产流程和产品配送，以最大化生产效率和满足市场需求。例如，一家汽车制造商需要决定在不同工厂生产多少辆不同类型的汽车，并将它们运送到全球各地的经销商处。通过运筹学中的线性规划或整数规划方法，企业可以优化生产计划和物流配送，以实现利润最大化或成本最小化，其实最大化与最小化运输问题是一个问题的两个视角，从求解过程中就可以领略。

参考文献

1. 运输规划求最大值问题示例
2.运输问题之最小配置问题
3.Python数学建模PuLP库线性规划入门示例详解

最小配置问题

某航运公司承担六个港口城市 $A、B、C、D、E、F$ 的四条固定航线的物质运输任务。已知各条航线的起点、终点城市及每天航班数见表4。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 表4 \quad 航线 & 起点城市 & 终点城市 & 每天航班数 \\ \hline 1 & E & D & 3 \\ 2 & B & C & 2 \\ 3 & A & F & 1 \\ 4 & D & B & 1 \\ \hline \end{array}$$

假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市间的航程天数见表5。

$$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|c|} \hline 表5\quad 从 到 & A & B & C & D & E & F \\ \hline A & 0 & 1 & 2 & 14 & 7 & 7 \\ B & 1 & 0 & 3 & 13 & 8 & 8 \\ C & 2 & 3 & 0 & 15 & 5 & 5 \\ D & 14 & 13 & 15 & 0 & 17 & 20 \\ E & 7 & 8 & 5 & 17 & 0 & 3 \\ F & 7 & 8 & 5 & 20 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}$$

又知每条船只每次装卸货的时间各需1天，则该航运公司至少应配备多少条船, 才能满足所有航线的运货需求?

解 该公司所需配备船只分两部分。(1) 载货航程需要的周转船只数。例如航线1，在港口E装货 1 天, $\mathrm{E} \rightarrow \mathrm{D}$ 航程17天，在D卸货1天，总计19天。每天3航班，故该航线周转船只需57条。各条航线周转所需船只数见表6。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 表6 \quad 航线 & 装货天数 & 航程天数 & 卸货天数 & 小计 & 航班数 & 需周转船只数 \\ \hline 1 & 1 & 17 & 1 & 19 & 3 & 57 \\ \hline 2 & 1 & 3 & 1 & 5 & 2 & 10 \\ \hline 3 & 1 & 7 & 1 & 9 & 1 & 9 \\ \hline 4 & 1 & 13 & 1 & 15 & 1 & 15 \\ \hline \end{array}$$

需周转船只数合计为91只。
(2)各港口间调度所需船只数。有些港口每天到达船只数多于需要船数，例如港口D，每天到达3条，需求1条; 而有港口到达数少于需求数, 例如港口B。各港口每天余缺船只数的计算见表7。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 表7 \quad 港口城市 & 每天到达 & 每天需求 & 余缺数 \\ \hline A & 0 & 1 & -1 \\ B & 1 & 2 & -1 \\ C & 2 & 0 & 2 \\ D & 3 & 1 & 2 \\ E & 0 & 3 & -3 \\ F & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$

为使配备船只数最少, 应做到周转的空船数为最少。因此建立以下运输问题, 其产销平衡表见表8。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 表8\quad 港 口 & A & B & E & 每天多余船只 \\ \hline C & & & & 2 \\ D & & & & 2 \\ F & & & & 1 \\ \hline 每天缺少船只 & 1 & 1 & 3 & \\ \hline \end{array}$$

单位运价表应为相应各港口之间的船只航程天数，见表9。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 表9 \quad 港口 & A & B & E \\ \hline C & 2 & 3 & 5 \\ D & 14 & 13 & 17 \\ F & 7 & 8 & 3 \\ \hline \end{array}$$

用表上作业法求出空船的最优调度方案见表10。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 表10 \quad港 口 & A & B & E & 每天多余船只 \\ \hline C & 1 & & 1 & 2 \\ D & & 1 & 1 & 2 \\ F & & & 1 & 1 \\ \hline 每天缺少船只 & 1 & 1 & 3 & 5 \\ \hline \end{array}$$

由表10知最少需周转的空船数为

$$2 \times 1+13 \times 1+5 \times 1+17 \times 1+3 \times 1=40 \text { 条。 }$$

这样在不考虑维修、储备等情况下, 该公司至少应配备 $40+91=131$ 条船。

中转运输

有一条运输链路：1. 3 个工厂到 5 各仓库的运输费; 2. 5 个仓库到 8 个分店的运输费。我们从表格中可以看到这两方面的运输费的各自的运输费单价。
表1：3 个工厂到 5 个仓库的运输单价(元/件)

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & B1 & B2 & B3 & B4 & B5 \\ \hline A1 &... & 10 & 14 & 17 & 13 \\ \hline A2 & 10 & 8 & ... & 9 & 16 \\ \hline A3 & 15 & 16 & 9 & 15 & ... \\ \hline \end{array}$$

表2: 5 个仓库到 8 个分店的单位运价(元/件)

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & \mathrm{C} 1 & \mathrm{C} 2 & \mathrm{C} 3 & \mathrm{C} 4 & \mathrm{C} 5 & \mathrm{C} 6 & \mathrm{C} 7 & \mathrm{C} 8 \\ \hline \mathrm{B} 1 & 3 & 2 & 3 & 6 & 3 & 1 & 4 & 5 \\ \hline \mathrm{B} 2 & - & 3 & 3 & \cdots & 5 & 2 & 5 & 3 \\ \hline \mathrm{B} 3 & 5 & - & 2 & 5 & \cdots & 5 & \cdots & 4 \\ \hline \mathrm{B} 4 & 4 & 1 & 4 & 4 & 2 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline \mathrm{B} 5 & 2 & 2 & 5 & 3 & 5 & 2 & 5 & 2 \\ \hline \end{array}$$

从这两个表格中我们可以分析，从 3 个加工厂运输物资到 8 个分店的路线图如下:

从上面的图中, 我们可以算出从 3 个加工厂到 8 各分店之间共有 $120(3* 5*8=120)$ 条路线,我们可以利用上面那个表格进行整合，让 $\mathrm{A}_{\mathrm{a},}、\mathrm{B}_{\mathrm{b}}$这两个量进行组合，再让 $\mathrm{B}_{\mathrm{b}}、\mathrm{C}_{\mathrm{c}}$, 这两个量进行组合，最后将这两个组合的所有组合进行叠加，取出其中 3 个厂分别到 8 个分店的最佳的路线，使得运输费单价最小。具体见如下表格:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 运价\quad 元/件 & \mathrm{Cl} & \mathrm{C} 2 & \mathrm{C} 3 & \mathrm{C} 4 & \mathrm{C}5 & \mathrm{C} 6 & C7 & $\mathrm{C} 8$ & 产量 (件) \\ \hline \mathrm{A} 1 & 15 & 13 & 13 & 16 & 15 & 12 & 15 & 13 & 15200 \\ \hline A2 & 13 & 10 & 11 & 13 & 11 & 10 & 11 & 11 & 10500 \\ \hline A3 & 14 & 16 & 11 & 14 & 17 & 14 & 17 & 13 & 11200 \\ \hline 销㣎 (件) & 3290 & 5090 & 4450 & 4800 & 1440 & 4850 & 5020 & 4840 & \\ \hline \end{array}$$

运输问题

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 表II\quad 产地 & \mathrm{B}_1 & \mathrm{~B}_2 & \mathrm{~B}_3 & \mathrm{~B}_4 & \text { 产量 } \\ \hline \mathrm{A}_1 & 5 & 3 & 10 & 4 & 90 \\ \hline \mathrm{A}_2 & 2 & 6 & 9 & 6 & 40 \\ \hline \mathrm{A}_3 & 14 & 10 & 5 & 7 & 70 \\ \hline \text { 销量 } & 30 & 50 & 100 & 40 & \\ \hline \end{array}$$