集装箱多式联运路径规划——动态规划求解

物流运输方式在技术上、经济上各有长短，都有适宜的使用范围，每种运输方式单独运用很难实现节约资源、降本增效。随着我国经济不断发展以及布局网络技术的不断深化，多式联运通过把传统的、单一的运输方式进行择优组合，充分利用了各个运输方式现有的设施设备，实现了运输过程中的资源整合，有利于运输过程中的可持续发展及达成规模经济中降本增效的目的。多式联运(Multimode Transportation)是现代物流体系中竞争协作的最佳方式，对于实现运输费用或时间的节约，提高交通运输服务水平以及社会效益具有重要的意义。集装箱多式联运是以集装箱作为运输单位进行货物运输的一种现代化的先进运输方式，它已成为国际海上货物运输主要航线上居于主导地位的运输方式。

一、港口的多式联运模型

某供应链物流公司从事全球范围内的多式联运业务。他们通过运用不同的运输方式，如船舶、铁路、公路和航空，为客户提供集装箱运输服务。公司利用多式联运的优势，将货物从一个港口运输到另一个港口，并通过优化运输方案和转运费用，降低运输成本、提高运输效率。他们与港口合作，协调货物的运输和转运，并确保及时交付和满足客户的需求。通过整合全球物流资源和优化供应链管理，该公司致力于提供高质量的物流解决方案，促进客户的业务发展。其多式联运建模过程如下：
参数符号
$N$ : 港口数量
$M$ : 车辆数量
$T$ : 时间段数量
$D_{ij}$ : 从港口 $i$ 到港口 $j$ 的距离
$C_{ijk}$ : 从港口 $i$ 到港口 $j$ 使用车辆 $k$ 的运输成本
$Q_k$ : 车辆 $k$ 的运载能力
$F_{it}$ : 港口 $i$ 在时间段 $t$ 的货物需求量
$M_{lm}$ : 从港口 $l$ 到港口 $m$ 使用运输方式 $n$ 的转运费用
$V_n$ : 运输方式 $n$ 的运载能力
$W_{lnmt}$ : 从港口 $l$ 到港口 $m$ 使用运输方式 $n$ 的运输量费用比例
决策变量
$X_{ijkt}$ : 从港口 $i$ 到港口 $j$ 使用车辆 $k$ 在时间段 $t$ 的运输量
$Z_{lnmt}$ : 从港口 $l$ 到港口 $m$ 使用运输方式 $n$ 在时间段 $t$ 的运输量
$Y_{lnmt}$ : 从港口 $l$ 到港口 $m$ 使用运输方式 $n$ 在时间段 $t$ 的运输决策（0或1）

目标函数
最小化总运输成本和转运费用:

min \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} \sum_{k = 1}^{M} \sum_{t = 1}^{T} C_{i j k} X_{i j k t} + \sum_{l = 1}^{N} \sum_{m = 1}^{N} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} M_{l m} W_{l n m t} Z_{l n m t}

$\min \sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=1}^{M}\sum_{t=1}^{T} C_{ijk}X_{ijkt} + \sum_{l=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} M_{lm}W_{lnmt}Z_{lnmt}$

约束条件
集装箱从一个港口出发必须到达另一个港口：

\sum_{j = 1}^{N} \sum_{k = 1}^{M} \sum_{t = 1}^{T} X_{i j k t} = \sum_{j = 1}^{N} \sum_{k = 1}^{M} \sum_{t = 1}^{T} X_{j i k t} + \sum_{l = 1}^{N} \sum_{m = 1}^{N} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} Z_{l n m t} \forall i \in {1, 2, \dots, N}

$\sum_{j=1}^{N}\sum_{k=1}^{M}\sum_{t=1}^{T} X_{ijkt} = \sum_{j=1}^{N}\sum_{k=1}^{M}\sum_{t=1}^{T} X_{jikt} + \sum_{l=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} Z_{lnmt} \quad \forall i \in \{1,2,\ldots,N\}$

车辆的运载能力限制：

\sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} X_{i j k t} \leq Q_{k} \forall k \in {1, 2, \dots, M}

$\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} X_{ijkt} \leq Q_k \quad \forall k \in \{1,2,\ldots,M\}$

运输方式的运载能力限制：

\sum_{l = 1}^{N} \sum_{m = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} Z_{l n m t} \leq V_{n} \forall n \in {1, 2, \dots, N}

$\sum_{l=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} Z_{lnmt} \leq V_n \quad \forall n \in \{1,2,\ldots,N\}$

满足各个港口在不同时间段的需求量：

\sum_{i = 1}^{N} \sum_{k = 1}^{M} \sum_{t = 1}^{T} X_{i j k t} + \sum_{m = 1}^{N} \sum_{n = 1}^{N} \sum_{t = 1}^{T} Z_{l n m t} = F_{i t} \forall i \in {1, 2, \dots, N}, t \in {1, 2, \dots, T}

$\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{M}\sum_{t=1}^{T} X_{ijkt} + \sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\sum_{t=1}^{T} Z_{lnmt} = F_{it} \quad \forall i \in \{1,2,\ldots,N\}, t \in \{1,2,\ldots,T\}$

运输量与运输决策关系：

Z_{l n m t} \leq Y_{l n m t} \cdot V_{n} \forall l, m, n, t

$Z_{lnmt} \leq Y_{lnmt} \cdot V_n \quad \forall l, m, n, t$

运输决策为0或1：

Y_{l n m t} \in {0, 1} \forall l, m, n, t

$Y_{lnmt} \in \{0, 1\} \quad \forall l, m, n, t$

运输量非负：

X_{i j k t}, Z_{l n m t} \geq 0 \forall i, j, k, t, l, m

$X_{ijkt}, Z_{lnmt} \geq 0 \quad \forall i, j, k, t, l, m$

以上的模型考虑了某供应链物流公司在全球范围内的多式联运情景，通过考虑不同运输方式和转运费用的优化，旨在降低总运输成本并提高运输效率。决策变量 $Y_{lnmt}$ 表示是否选择某一运输方式，通过该模型可以确定最佳的运输方案，以满足港口需求并优化整体供应链物流运作。

二、集装箱多式联运案例

假设有一批货物以集装箱为单位需要从A城市运往B城市，在整个运输过程中采用了公路运输、铁路运输、水路运输组成的多式联运的运输方式。在线路规划中，要充分考虑到降低物流企业的投入成本，提升运输效率，提高客户满意度，从而得到基于多方面因素的多式联运路径优化方案。若多式联运随机路线布局网络图如下图所示。从图中可见，去往B城市会经过C、D和E3个节点，有多种运输方式可以选择。运输方式可能消耗的运输时间和运输成本不同，最后择优组合不同运输方式完成多式联运的运输方案。

某供应链物流公司SH从事国内集装箱运输业务，对于沿海地区采用海运；对于其他地方采用公路运输。为节约成本提高效益，公司从运营网点中抽取了四个代表性的地点（台州，上海，烟台，大连）。大连采用海运，台州，上海，烟台三地采用公路运输，具体测算结果如表1所示。该表反映出目前该公司从福州到各地的运输费用。

	福州至(距离/km)	福州至(运费)
台州(路运)	445	1.5×445=667.5
上海(路运)	776	1.5×776=1164
烟台(路运)	1619	1.3×1619=2104
大连(水运)	1781	800×5=4000

2.1 数学模型

考虑海陆联运，在 SH 原有的完善的公路配送覆盖网络基础上，配合分拨中心及中转站，拟建立覆盖所有目的地城市的区域多式联运配送网络。我们在原方案的基础上寻找新的运输方式，并考虑各个运输方式的费用。对比之下我们把运输费用相对经济的三种运输方式：水运和公路运输以及铁路运输加入对比，用运费较低运输方式替换运费高的运输方式，从而对路线进行不断的局部优化，最终实现全局的路线优化。
在建立数学模型前，对现实问题做出如下简化及约定：(1)每2个城市之间货物的运输最多有3种可选的运输方式(公路、铁路、水路运输)；(2)集装箱的中转过程有很好的衔接；(3)运量不可以分割，即在某2个特定的城市之间，只能选择一种运输方式；(4)不考虑货运量对运输价格及运输时间的影响；(5)不考虑运输能力的限制。
这里采用动态规划思想建立优化多式联运的动态规划模型（多式联运方式所需要考虑的因素为运量，运输费用，中转时间，中转费用，服务水平等）。建立模型如下：

min z = \sum_{i} \sum_{j} x_{i, i + 1}^{j} c_{i, i + 1}^{j} + \sum_{i} \sum_{j} \sum_{l} r_{i}^{j l} t_{i}^{j l} (1)

$\min z=\sum_i \sum_j x_{i, i+1}^j c_{i, i+1}^j+\sum_i \sum_j \sum_l r_i^{j l} t_i^{j l} \quad \quad \quad (1)$

其中, 各种变量说明如下:
$c_{i, i+1}^j$ : 从节点 $i$ 到节点 $i+1$ 选择第 $j$ 种运输方式的费用;
$t_i^{jl}$ :在节点 $i$ 从第 $j$ 种运输方式转换装成第 $l$ 种运输方式转换费用;
$x_{i, i+1}^j=\left\{\begin{array}{l}1: \text { 在节点 } i \text { 和节点 } i+1 \text { 之间选择第 } j \text { 中运输方式 } \\ 0: \text { 其他 }\end{array}\right.$
$r_{i}^{jl}=\left\{\begin{array}{l}1: \text { 在节点 } i \text { 从第 } j \text { 种运输方式转换为第 } l \text { 种运输方式 } \\ 0: \text { 其他 }\end{array}\right.$

约束条件:

{\begin{cases} \sum_{j} x_{i, i + 1}^{j} = 1 \\ \sum_{j} \sum_{l} r_{i}^{j l} = 1 \\ x_{i - 1, i}^{j} + x_{i, i + 1}^{l} \geq 2 r_{i}^{j l} \\ r_{i}^{l}, x_{i, i + 1}^{j} \in {0, 1} \end{cases} (2)

$\left\{\begin{array}{l}\sum_j x_{i, i+1}^j=1 \\ \sum_j \sum_l r_i^{j l}=1 \\ x_{i-1, i}^j+x_{i, i+1}^l \geq 2 r_i^{j l} \\ r_i^l, x_{i, i+1}^j \in\{0,1\}\end{array} \quad\right. \quad \quad (2)$

在模型中，目标函数的第一部分表示运输费用的总和，第二部分表示中转费用的求和。第一个约束表示每一段都有而且只有一种运输方式参与运输，第二个约束表示不论如何选择运输方式，第 $i$ 个节点都只安排一种运输方式，第三个约束表示运输方式的无缝衔接。求解模型运用动态规划的思想, 每个节点相当于动态规划的一个阶段, 利用逆序方法依次求取节点间的最佳运输方式，其中节点之间的运输总费用为:

P_{i - 1} (j, l) = t_{i - 1}^{j l} + Q C_{i - 1, i}^{l} + P_{i} (l, k) (3)

$P_{i-1}(j,l)=t_{i-1}^{j l}+Q C_{i-1, i}^l +P_{i}(l,k)\quad \quad \quad (3)$

其中, $P_{i-1}(j,l)$ :后部子过程运输总费用； $t_{i-1}^{jl}$ : 中转费用； $Q$ : 运量； $C_{i-1 . i}^l$ : 选用第 $l$ 种运输方式的单位运价。

2.2 求解分析

根据建立的模型，把实际问题结合模型，解决方案可规划表2(城市间各运输方式的费用表)表3(运输方式转换费用)：

运输方式	1福州----2上海	2上海----3烟台	3烟台----4大连
公路	1.5	1.3	1.5
水运	——	——	1
铁路	1.8	1.5	1.3

从公路			从水运			从铁路
公	水	铁	公	水	铁	公	水	铁
0	3	2	3	0	3	2	3	0

设运量为50单位，下面用到动态规划求解福州到大连的运输路径：
对于第三个城市烟台，若烟台以公路运输方式运达，则烟台到大连选取各种运输方式的费用如下：：

P_{3}^{(公 ， 公)} = t_{3}^{(公 ， 公)} + Q C_{3, 4}^{公} = 0 + 50 \times 1.5 = 75 P_{3}^{(公 ， 铁)} = t_{3}^{(公 ， 铁)} + Q C_{3, 4}^{铁} = 2 + 50 \times 1.3 = 67 P_{3}^{(公 ， 水)} = t_{3}^{(公 ， 水)} + Q C_{3, 4}^{铁} = 3 + 50 \times 1.0 = 53

$P_3^{(公，公)}\quad =t_3^{(公，公)} + QC_{3,4}^{公}=0+50×1.5=75\\ P_3^{(公，铁)}\quad =t_3^{(公，铁)}+ QC_{3,4}^{铁}=2+50×1.3=67 \\ P_3^{(公，水)}\quad =t_3^{(公，水)}+QC_{3,4}^{铁}=3+50×1.0=53$

由计算可得，若烟台以公路方式运达，则烟台到大连之间选取水运输最佳。同理,若烟台以铁路运达，烟台到大连之间也应选取水路运输最佳 $P_3^{(铁，水)}\quad$ =53；若烟台以水路运达，烟台与大连之间应选取水路运输最佳 $P_3^{(水，水)}\quad$ =50×1=50。

对于第二个城市上海，若上海以公路运输方式到达，则上海到烟台选择各种运输方式的总费用（上海经烟台到大连）：

P_{2}^{(公 ， 公)} = t_{2}^{(公 ， 公)} + Q C_{2, 3}^{公} + P_{3}^{(公 ， 水)} = 0 + 50 \times 1.3 + 53 = 118 P_{2}^{(公 ， 铁)} = t_{2}^{(公 ， 铁)} + Q C_{2, 3}^{铁} + P_{3} (铁 ， 水) = 2 + 50 \times 1.5 + 53 = 120

$P_2^{(公，公)}\quad =t_2^{(公，公)} \quad +QC_{2,3}^公+P_3^{(公，水)}\quad =0+50×1.3+53=118\\ P_2^{(公，铁)}\quad =t_2^{(公，铁)}+QC_{2,3}^铁+P_3{(铁，水)}=2+50×1.5+53=120$

计算可得最小运输费用为 $P_2^{(公，公)}\quad$ =118。同理，以铁路运输方式到达时均应选取公路运输方式 $P_2^{(铁，公)}\quad$ =120。

对于第一个城市福州来说，福州选取不同的运输方式到上海，福州经上海到达大连的运输总费用计算如下：

P_{1}^{公} = Q C_{1, 2}^{公} + P_{2}^{(公 ， 公)} = 50 \times 1.5 + 118 = 193 P_{1}^{铁} = Q C_{1, 2}^{铁} + P_{2}^{(铁 ， 公)} = 50 \times 1.8 + 120 = 210

$P_1^{公}=QC_{1,2}^公+P_2^{(公，公)}=50×1.5+118=193\\ P_1^{铁}=QC_{1,2}^铁+P_2^{(铁，公)}=50×1.8+120=210$

计算可得，福州与上海之间应选择公路。各个城市之间的最佳组合方式如下表4(线路优化结果)所示：

运输路线	1福州——2上海	2上海——3烟台	3烟台——4大连
运输方式	公路	公路	水路

所以福州到大连多式联运路线为福州(公)——上海(公)——烟台(水)——大连，查各段运输距离，可知福州到大连的总运费为1164+907×1.3+182X1.0=2525<4000。在动态规划的方法支持下，多式联运路线为烟台到大连段使用水运，福州到上海段以及上海到烟台段都采用公路运输。上面讨论仅考虑了中转费用，实际在运作中还需减少运输方式的转换次数，缩减交接次数，考虑客户“零公里数”的要求和“完好率”的各种要求，这样得到的运输费用才是最经济的。

三、总结

集装箱多式联运是公认的最先进的运输方式, 其基本特征是将至少两种以上的运输方式连贯起来实行一次托运、一次结算、一票到底,全程负责, 最终实现货物运输“门到门”服务。中国拥有世界上最大的港口数量，并且这些港口在贸易和物流中起着重要作用，集装箱多式联运已成为推动物流发展的重要战略，各大港口如上海港、深圳港、宁波港等纷纷建设集装箱码头和物流园区，提升了货物的转运效率和服务水平。集装箱多式联运在中国的发展有助于推动国内外贸易的便捷化和高效化。它加强了中国港口与内陆地区的联系，促进了沿海和内陆地区的经济协调发展。同时多式联运也为中国企业提供了更便利、快捷的物流通道，拓展了市场和贸易机会。