转运运输问题——Python实现（二）

转运运输问题在供应链管理中起着至关重要的作用。供应链是一个涉及从原材料采购到产品交付的复杂网络，其中运输是连接不同环节的关键环节。转运运输问题涉及如何高效地将物品从一个地点转移到另一个地点，以满足客户需求并最小化成本。在供应链背景下，转运运输问题需要考虑多个因素，如货物类型、数量、运输距离、交货时间、货车容量等。优化转运运输可以帮助企业降低成本、提高交付效率，从而增强竞争力。这可以通过合理的运输路线规划、货车装载优化、运输调度等方式实现。现代技术的应用使得解决转运运输问题变得更加高效。例如，使用智能物流系统和物流管理软件可以实时跟踪货物位置、优化运输路线和调度，减少空载率和运输时间。另外，物联网技术可以实现对货物和运输工具的远程监控，提供数据支持决策。

一、转运问题

除了常规的运输路线，运输是还可能包括发点到发点、收点到收点，甚至收点到发点的运输，这类运输问题考虑复杂的运输网络，称为转运问题。转运问题是指除了供给点和需求点之外运输时的中间节点，并且可以转化为一个运输问题。

供给点（supply point）是指可以发货但不能收货的点
需求点（demand point）是指可以收货但不能发货的点
转运点（transshipment point）是同时可以收货和发货的点

二、转运问题的数学模型

设有$m$个地点(称为产地或发地)$A_i,i=1,2,...,m$的某种物资调至$n$个地点(称为销地或收地)$B_{m+j},j=1,2,...,n$，各个产地需要调出的物资量分别为$a_i$单位，各个销地需要调进的物资量分别为$b_j$单位，且 $$\sum_{i=1}^{m}a_i = \sum_{j=1}^{n}b_j=Q$$
现假设各个产地和销地之间可以转运，将产地和销地重新编号，就变成共有$m+n$个产地和$m+n$销地的运输问题，已知每个产地$i$到每个销地$j$的物资单位调运价格为$c_{ij}$；各个运输节点的单位转运费$c_k,k=1,2,...,m+n$；各个运输节点的转运量为$t_k,k=1,2,...,m+n$，现问如何安排调运，才能使总运费最小。

	序号	1	...	$m$	$m+1$	...	$m+n$	发送量
产地	1		...	$x_{1m}$	$x_{1,m+1}$	...	$x_{1,m+n}$	$a_1+t_1$
	...	...		...	...	...	...	...
	$m$	$x_{m1}$	...		$x_{m,m+1}$	...	$x_{m,m+n}$	$a_m+t_m$
销地	$m+1$	$x_{m+1,1}$	...	$x_{m+1,m}$		...	$x_{m+1,m+n}$	$t_{m+1}$
	...	...	...	...	...		...	...
	$m+n$	$x_{m+n,1}$	...	$x_{m+n,m}$	$x_{m+n,m+1}$	...		$t_{m+n}$
	接收量	$t_1$	...	$t_m$	$b_1+t_{m+1}$	...	$b_n+t_{m+n}$

根据上面变量表，可建立有转运的运输问题的数学模型

$$\begin{aligned} & \min z=\sum_{\substack{i=1 \\ i\neq j}}^{m+n} \sum_{j=1\\ j \neq i}^{m+n} c_{i j} x_{i j}+\sum_{i=1}^{m+n} c_i t_i \\ & \left\{\begin{array}{c} \sum_{j=1,j\neq i}^{m+n}x_{ij} =a_i+t_i \quad i=1,2, \cdots, m \\ \sum_{j=1,j\neq i}^{m+n}x_{ij}=t_i \quad i=m+1, m+2, \cdots, m+n \\ \sum_{i=1,i\neq j}^{m+n}x_{ij}=t_j \quad j=1,2, \cdots, m \\ \sum_{i=1,i\neq j}^{m+n}x_{ij} =b_{j-m}+t_j \quad j=m+1, m+2, \cdots, m+n \\ x_{ij}\geq 0,(i \neq j) \quad Q \geq \mathrm{t}_i, \mathrm{t}_j \geq 0 \end{array}\right. \\ & \end{aligned}$$

做变换，令$x_{ii}=Q-t_i$，$c_{ii}=-c_i$，代入上面模型，得

$$\begin{aligned} & \min z=\sum_{i=1}^{m+n} \sum_{j=1}^{m+n} c_{i j} x_{i j} \\ & \left\{\begin{array}{c} \sum_{j=1}^{m+n}x_{ij} =Q+a_i \quad i=1,2, \cdots, m \\ \sum_{j=1}^{m+n}x_{ij}=Q \quad i=m+1, m+2, \cdots, m+n \\ \sum_{i=1}^{m+n}x_{ij}=Q \quad j=1,2, \cdots, m \\ \sum_{i=1}^{m+n}x_{ij} =Q+b_{j-m}\quad j=m+1, m+2, \cdots, m+n \\ x_{ij}\geq 0,(i \neq j) \quad Q \geq \mathrm{t}_i, \mathrm{t}_j \geq 0 \end{array}\right. \\ & \end{aligned}$$

	序号	1	...	$m$	$m+1$	...	$m+n$	发送量
产地	1	$-c_1$	...	$x_{1m}$	$x_{1,m+1}$	...	$x_{1,m+n}$	$Q+a_1$
	...	...	$-c_i$	...	...	...	...	...
	$m$	$x_{m1}$	...	$-c_m$	$x_{m,m+1}$	...	$x_{m,m+n}$	$Q+a_m$
销地	$m+1$	$x_{m+1,1}$	...	$x_{m+1,m}$	$-c_{m+1}$	...	$x_{m+1,m+n}$	$Q$
	...	...	...	...	...	$-c_{m+j}$	...	...
	$m+n$	$x_{m+n,1}$	...	$x_{m+n,m}$	$x_{m+n,m+1}$	...	$-c_{m+n}$	$Q$
	接收量	$Q$	...	$Q$	$Q+b_1$	...	$Q+b_n$

三、转运问题示例

3.1 示例1

建立转运矩阵，注意单位转运费为零

	A	B	C	D	E	供应量
A	0	3	12	10	4	47
B	3	0	6	10	5	34
C	12	6	0	2	3	27
D	10	10	2	0	6	27
E	4	5	2	6	0	27
需求量	27	27	36	36	36

该问题Python求解

import pulp
import numpy as np
from pprint import pprint

def transport_problem(costs, x_max, y_max):
    row = len(costs)
    col = len(costs[0])
    prob = pulp.LpProblem('Transportation Problem', sense=pulp.LpMinimize)  # Changed to minimize
    var = [[pulp.LpVariable(f'x{i}{j}', lowBound=0, cat=pulp.LpInteger)
            for j in range(col)] for i in range(row)]
    flatten = lambda x: [y for l in x for y in flatten(l)] if type(x) is list else [x]
    prob += pulp.lpDot(flatten(var), costs.flatten())  # Objective function
    for i in range(row):
        prob += (pulp.lpSum(var[i])) == x_max[i]  # Modified constraint: Equality instead of inequality
    for j in range(col):
        prob += (pulp.lpSum(var[i][j] for i in range(row))) == y_max[j]  # Modified constraint: Equality instead of inequality
    prob.solve()
    return {'objective': pulp.value(prob.objective), 'var': [[pulp.value(var[i][j]) for j in range(col)] for
                                                               i in range(row)]}


if __name__ == '__main__':
    costs = np.array([[0, 3, 12, 10, 4],
                      [3, 0, 6, 10, 5],
                      [12, 6, 0, 2, 3],
                      [10, 10, 2, 0, 6],
                      [4, 5, 2, 6, 0]])
    max_plant = [47, 34, 27, 27, 27]
    max_cultivation = [27, 27, 36, 36, 36]
    res = transport_problem(costs, max_plant, max_cultivation)
    print(f'最小值为{res["objective"]}')
    print('各变量的取值为: ')
    pprint(res['var'])

最小值为162.0
各变量的取值为: 
[[27.0, 0.0, 0.0, 0.0, 20.0],
 [0.0, 27.0, 7.0, 0.0, 0.0],
 [0.0, 0.0, 18.0, 9.0, 0.0],
 [0.0, 0.0, 0.0, 27.0, 0.0],
 [0.0, 0.0, 11.0, 0.0, 16.0]]

3.2 示例2

建立转运矩阵

	发送地	产	地	转运	销	地	发送量
接收地		1	2	3	4	5	发送量
产	1	-4	5	3	2	M	60
地	2	5	-1	2	M	4	90
转运	3	3	2	-3	5	5	50
销	4	2	M	5	-3	6	50
地	5	M	4	5	6	-5	50
接收量	接收量	50	50	50	80	70	300\300

求出调运方案

	发送地	产	地	转运	销	地
接收地		1	2	3	4	5	发送量
产	1	-4（50）	5	3	2 （10）	M	60
地	2	5	-1（50）	2（20）	M	4 （20）	90
转运	3	3	2	-3（30）	5 （20）	5	50
销	4	2	M	5	-3 （50）	6	50
地	5	M	4	5	6	-5（50）	50
	接收量	50	50	50	80	70	300\300

$Z=c_{14}x_{14}+c_{23}x_{23}+c_{25}x_{25}+c_{34}x_{34}=2\times 10+2\times 20+4\times 20+5\times 20=240$

3.3 示例3（前例3）

例3：某供应链企业经销汽车配件A，下设2个分别位于沈阳和郑州的加工厂。该公司每月需要把各产地生产的产品分别运往北京、上海、广州3个销售点。运输过程中，允许经天津、武汉2个中转站进行转运。公司在租用运输车辆时，租赁公司给出如下的单位运价表。天津和武汉两个中转地的运输能力约束为500,400，问在考虑到产销地之间非直接运输的各种可能方案的情况下，如何将2个加工厂每月生产的产品运往销售地，使总的运费最低？

	天津$T_1$	武汉$T_2$	北京$B_1$	上海$B_2$	广州$B_3$	供应量
沈阳$A_1$	210	470	—	—	—	500
郑州$A_2$	230	160	—	—	—	300
天津$T_1$	—	—	100	170	300	500
武汉$T_2$	—	—	315	130	150	400
需求量	500	400	300	400	100

建立转运矩阵

	序号	沈阳1	郑州 2	天津3	武汉4	北京5	上海6	广州7	发送量
产地	1	0	$M$	210	470	$M$	$M$	$M$	800+500
	2	$M$	0	230	160	$M$	$M$	$M$	800+300
中转	3	$M$	$M$	0	$M$	100	170	300	800
	4	$M$	$M$	$M$	0	315	130	100	800
销地	5	$M$	$M$	$M$	$M$	0	$M$	$M$	800
	6	$M$	$M$	$M$	$M$	$M$	0	$M$	800
	7	$M$	$M$	$M$	$M$	$M$	$M$	0	800
	接收量	800	800	800	800	800+300	800+400	800+100

#修改上面程序的数据即可，f是程序运算中的无穷，也就是运筹的M
if __name__ == '__main__':
    f=10000000  #float("inf")
    costs = np.array([[0, f, 210, 470, f, f, f],
                      [f, 0, 230, 160, f, f, f],
                      [f, f, 0, f, 100, 170, 300],
                      [f, f, f,0, 315, 130, 150],
                      [f, f, f,f, 0, f, f],
                      [f, f, f, f, f, 0, f],
                      [f, f, f, f, f, f, 0]])
    max_plant = [1300, 1100, 800, 800, 800, 800, 800]
    max_cultivation = [800, 800, 800, 800, 1100, 1200, 900]

最小值为258000.0
各变量的取值为: 
[[800.0, 0.0, 500.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0],
 [0.0, 800.0, 0.0, 300.0, 0.0, 0.0, 0.0],
 [0.0, 0.0, 300.0, 0.0, 300.0, 200.0, 0.0],
 [0.0, 0.0, 0.0, 500.0, 0.0, 200.0, 100.0],
 [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 800.0, 0.0, 0.0],
 [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 800.0, 0.0],
 [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 800.0]]

四、练习题

4.1 练习1

某种物资需从甲、乙两个产地运往A,B和C三个销地，并允许中间经过某产地或销地转运，其网络图如下：

已知甲和乙的供应量各为100和200，A、B和C的需求量均为100，线段（弧）上的数字为单位运费。试求(1)用表格形式列出此问题的运输模型；(2)求此问题的最优解。

4.2 练习2

某种物资需从甲、乙两个产地运往A,B和C三个销地，并允许中间经过某产地或销地转运，其网络图如下：

已知甲和乙的供应量各为100和200，A、B和C的需求量分别为100、100和170，线段（弧）上的数字为单位运费。试求(1)用表格形式列出此问题的运输模型；(2)求此问题的最优解。(解题提示：可添加虚拟产地化为标准的转运运输问题，如练习1)

参考文献

1. 运筹学笔记——运输、指派和转运问题
2. 有转运运输问题的求解
3. 运筹学-11-1-运输问题-转运问题
4. 数学建模——运输问题（Python实现）