非线性规划——习题解答（七）
习题解答
- 某厂向用户提供发动机。合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。每季度的生产费用为\(f(x) = ax+bx^2\) ( 元 )，其中\(x\)是该季生产的台数。若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度\(c\)元。已知该厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始时无存货，设\(a\)=50、\(b\)=0.2、\(c\)=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同又使总费用最低?讨论a,b,c变化对计划的影响。
解：设\(x_1,x_2,x_3\)分别表示工厂三季度生产的发动机数量。建立模型如下：
\[\min f=a\left( x_1+x_2+x_3 \right) +b\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} \right) +c\left( 2x_1+x_2-140 \right) \]
\[ s.t.\quad \begin{array}{c} x_1 \geq 40\\ x_1+x_2 \geqslant 100\\ x_1+x_2+x_3\geqslant 180\\ 0\leqslant x_1,x_2,x_3\leqslant 100\left( \text{整数} \right) \end{array}
\]
问题的最优解为（50,60,70）。
- 求解下面无约束非线性规划问题：
\[\min\quad f(x)=x_1^2+25x_2^2
\]
其中\(x=(x_1,x_2)^T\)。要求选取初始点\(x^{(0)}=(2,2)^T\)，精度\(\epsilon=10^{-6}\)。
问题的最优解为（0,0）。
- 试写出非线性规划问题
\[\min \quad f(X)=x_1^2+x_2^2-4x_1-8x_2
\]
\[s.t. \quad x_1+x_2 \leq 2 \\ x_1 \geq 0,x_2 \geq 0
\]
的Kuhn-Tucker条件（不求解）。
解： （1）改写非线性规划为标准形式，上述约束问题可改写为：
\[\min \quad f(X)=x_1^2+x_2^2-4x_1-8x_2
\]
\[s.t. \quad g_1(X)=x_1+x_2-2 \leq 0 \\ x_1 \geq 0,x_2 \geq 0
\]
（2）求目标函数和约束条件的梯度
\[\nabla f(X)=\left(\begin{array}{l}
2x_1-4 \\
2x_2-8
\end{array}\right), \quad \nabla g_1(X)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right) \]
（3）KT条件
\[\nabla f(X)+ \gamma_1 \nabla g_1(X) =\left(\begin{array}{l}
2x_1-4 \\
2x_2-8
\end{array}\right)+\gamma_1\left(\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right)=0 \quad \gamma_1 \geq 0
\]
注意：两个变量的取值都是非负，为KT条件更为约减，没有变成约束。
- 求解下面非线性规划问题
\[\begin{array}{l}
\min \quad f(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 8\\
s.t. \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x_1^2 - {x_2} + x_3^2 \ge 0}\\
{{x_1} + x_2^2 + x_3^3 \le 20}\\
{ - {x_1} - x_2^2 + 2 = 0}\\
{{x_2} + 2x_3^2 = 3}\\
{{x_1},{x_2},{x_3} \ge 0}
\end{array}} \right.
\end{array}
\]
最优解为（0.552,1.203,0.948），最优值为10.651。
- 考虑非线性规划问题
\[min \quad (x_{1}-3)^2+(x_{2}-2)^2\\
-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\geqslant 5\\ x_{1}+2x_{2}= 4\\ x_{1}, x_{2}\geqslant 0
\]
检验\(X^{(1)}=(2,1)^{^{T}}\)，是否为KT点。
解：（1）改写非线性规划为标准形式，上述约束问题可改写为：
\[min \quad f(X)= (x_{1}-3)^2+(x_{2}-2)^2 \\
g_1(X)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-5 \leqslant 0\\ g_2(X)=x_{1}+2x_{2}-4=0\\ x_{1}, x_{2}\geqslant 0
\]
将\(X^{(1)}=(2,1)^{^{T}}\)代入上述约束条件，发现\(X^{(1)}\)正好在前两个约束条件的边界上，因此前两个约束是起作用约束。
（2）求目标函数和约束条件的梯度
\[\nabla f(X)=\left(\begin{array}{l}
2 (x_1-3) \\
2(x_2-2)
\end{array}\right), \quad \nabla g_1(X)=\left(\begin{array}{l}
2 x_1 \\
2 x_2
\end{array}\right), \quad \nabla g_2(X)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2
\end{array}\right) \]
（3）判断是否满足KT条件
\[\nabla f\left(X^{(1)}\right)+ \gamma_1 \nabla g_1\left(X^{(1)}\right)+\mu_1 \nabla g_2\left(X^{(1)}\right)=\left(\begin{array}{l}
-2 \\
-2
\end{array}\right)+\gamma_1\left(\begin{array}{l}
4 \\
2
\end{array}\right)+\mu_1\left(\begin{array}{l}
1 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right)
\]
得 \(\gamma_1=\frac{1}{3}>0, \mu_1=\frac{2}{3}\), 故 \(X^{(1)}=(2,1)^{^{T}}\) 满足 Kuhn-Tucker 条 件。
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