钢管订购和运输模型——Python实现

要铺设一条$A_1→A_2→…→A_{15}$的输送天然气的主管道，如图所示。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有$S_1 ,S_2,…,S_7$。图中粗线表示铁路,单细线表示公路,双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原有公路,或者建有施工公路),圆圈表示火车站,每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位:km)。为方便计算, 1km主管道钢管称为1单位钢管。

一、问题描述

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂$S_i$ 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为$s_i$个单位，钢管出厂销价1单位钢管为$p_i$万元，如下表：

$i$	1	2	3	4	5	6	7
$S_i$	800	800	1000	2000	2000	2000	3000
$p_i$	160	155	155	160	155	150	160

单位钢管的铁路运价如下表：

里程(km)	≤300	301～350	351～400	401～450	451～500	501～600	601～700	701～800	801～900	901～1000
运价(万元)	20	23	26	29	32	37	44	50	55	60

1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点$A_1,A_2,...,A_{15}$ ，而是管道全线）。请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。

二、数学模型

2.1 模型假设

假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路；
运费只按铁路、公路里程收取，即不考虑火车、汽车由于停靠站等其他一切外因带来的费用；
钢管在铺设过程中以1km为单位进行铺设；
钢管可由铁路、公路运往铺设路线任一地点；
所有钢管在指定期限内都能按时生产并运送指定地点；
钢管铺设过程中由站点向左右两边进行铺设。

2.2 符号说明

符号	解释
$s_i$	第$i$个钢厂的最大产量，$i=1,2,...,7$
$A_j$	输送管道（主管道）上的第$j$个点，$j=1,2,...,15$
$c_{ij}$	钢厂$S_i$向点$A_j$订购和运输单位钢管的费用，$i=1,2,...,7 \quad j=1,2,...,15$
$x_{ij}$	钢厂$S_i$向点$A_j$运输的钢管量，$i=1,2,...,7 \quad j=1,2,...,15$
$p_i$	第$i$个钢厂1单位钢管的销价，$i=1,2,...,7$
$l_j$	管道$A_jA_{j+1}$段需要铺设的钢管单位，$j=1,2,...,14$
$y_j$	节点$j$向左铺设的钢管量，$j=1,2,...,15$
$z_j$	节点$j$向右铺设的钢管量，$j=1,2,...,15$

2.3 数学模型的构建

项目总费用=铺设总费用+成本及运输总费用

铺设总费用

当钢管从钢厂运到点$A_j$后，钢管就要向运输点$A_j$的两边$A_jA_{j+1}$端和$A_{j-1}A_j$段运输（铺设）管道。$l_j$：表示节点$A_j$到$A_{j+1}$之间铺设钢管单位（$y_1=0，z_{15}=0$），铺设方法如下图：

由于相邻运输点$A_j$与$A_{j+1}$之间的距离为$l_{j}$，其左边为$y_j$，右边为$z_j$，那么$A_j$ 向$A_jA_{j+1}$ 的运输费可分为两部分
右边的铺设费用： $$0.1×( 1 + 2 + . . . + z_j ) =\frac{ z_j(z_j + 1)}{2}$$
左边铺设的费用：

$$0.1×( 1 + 2 + . . . + y_j )= \frac{y_j(y_j+1) }{2}$$

成本和运输总费用

若运输点$A_j$向钢厂$S_i$订购$x_{ij}$单位钢管，$c_{ij}$是1单位钢管从钢厂$S_i$到点$A_j$的最少总费用，即公路运费、铁路运费和钢管销价之和；则钢管从钢厂$S_i$运到运输点$A_j$所需的费用为$c_{ij}x_{ij}$，合并就得所有钢管从钢厂运到各个运输点上的总费用。所以该问题的数学模型：

$$\begin{array}{ll} \min \sum_{i=1}^7 \sum_{j=1}^{15} c_{i j} x_{i j}+\frac{0.1}{2} \sum_{j=1}^{15}\left[z_j\left(z_j+1\right)+y_j\left(y_j+1\right)\right] \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \sum_{j=1}^{15} x_{i j} \in\{0\} \cup\left[500, s_i\right], \quad i=1,2, \cdots, 7, \\ \sum_{j=1}^{15} x_{i j} \leq s_i, \quad i=1,2, \cdots, 7, \\ \sum_{i=1}^7 x_{i j}=z_j+y_j,\quad j=1,2, \cdots, 15, \\ y_{j+1}+z_j=l_j, \quad j=1,2, \cdots, 14, \\ y_1=0, \quad z_{15}=0 \\ x_{i j} \geqslant 0, z_j \geqslant 0, y_j \geqslant 0,\quad i=1,2, \cdots 7, j=1,2 \cdots, 15 \end{array}\right. \end{array}$$

三、计算过程

使用计算机求解上述数学规划时, 需要对非线性约束条件进行处理。引进0-1变量

$$f_i=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { 钢厂 } i \text { 生产, } \\ 0, \text { 钢厂 } i \text { 不生产} \end{array} \quad \quad i=1,2, \cdots, 7\right.$$

把约束条件第一式转化为线性约束

$$500 f_i \leqslant \sum_{j=1}^{15} x_{i j} \leqslant s_i f_i,\quad i=1,2, \cdots, 7$$

3.1 运费矩阵的计算

将铁路与公路交界的点编号为$B_j(j=1,2,…,17)$ ，先构造铁路距离赋权图$G=(V,E_1,W_1)$，其中$V =\{S_1,…,S_7,A_1,…,A_{15} ,B_1，…,B_{17}\}$，各顶点的编号如上图所示，$W_1=[w_{ij}^{(1)}]_{39 \times 39}$，有

$$w_{ij}^{(1)}=\left\{\begin{array}{l} c_{ij}^{(1)}, 钢厂S_i和节点j有铁路直连 \\ +\infin, 钢厂S_i和节点j没有铁路直连 \end{array} \quad \quad \quad i=1,2, \cdots, 7 \quad j=1,2, \cdots, 32\right.$$

其中$c_{ij}^{(1)}$是单位钢管的铁路运费，根据铁路运价表，可以得到铁路运输费用，若两点间的铁路距离值为无穷大，则对应的铁路运输费用也为无穷大。下面介绍购买单位钢管及从$S_i(i=1 ,2,…,7)$运送到$A_j(j = 1 ,2,…,15)$的最小购运费用$c_{ij}$的计算过程。

计算$S_i$到$B_j$铁路直达的运输费用
(1)由于钢厂$S_i$直接与铁路相连，所以可求出钢厂$S_i$到铁路和公路相交点$B_j$（对应于$A_j$）的最短路径;
(2)依据钢管的铁路运价表，算出钢厂$S_i$到$B_j$的铁路运输费用，并把费用作为边权赋给钢厂$S_i$到$B_j$的边。
如以$S_1$为例，$S_1$到$B_j$的单位钢管铁路费用为：

$B_1$	$B_2$	$B_3$	$B_4$	$B_5$	$B_6$	$B_7$	$B_8$	$B_9$	$B_{10}$	$B_{11}$	$B_{12}$	$B_{13}$	$B_{14}$	$B_{15}$	$B_{16}$	$B_{17}$
160	140	135	37	80	20	20	20	60	85	95	95	105	100	120	130	145

计算以费用为权的公路交通网络图
(1)再考虑从$S_i$、$B_j$到运输点$A_j$的公路赋权图；
(2)根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边。以$S_1$为例得图：

构造公路费用赋权图$G2=( V,E_2, W_2)$，其中V同上，$W_2=[w_{ij}^{(2)}]_{39 \times 39}$，有

$$w_{ij}^{(2)}=\left\{\begin{array}{l} c_{ij}^{(2)}, 钢厂S_i和节点j有公路直连 \\ +\infin, 钢厂S_i和节点j没有公路直连 \end{array} \quad \quad \quad i=1,2, \cdots, 7 \quad j=1,2, \cdots, 32\right.$$

其中$c_{ij}^{(2)}$为钢厂$i$到节点$j$的公路运输费用。！！！32是15个A和17个B节点的和，需要计算钢厂和他们之间的公路连接距离，以便计算相应的运费。

计算$S_i$到结点$A_j$的最小运输费用
由于可以用铁路、公路交叉运送，所以任意相邻两点间的最小运输费用为铁路、公路两者运输费用加和的最小值（即最短路）。构造铁路公路混合赋权图$G=(V,E,W)$，$W=[c_{ij}]_{39 \times 39}$，$c_{ij}= \min \{c_{ij}^{(1)},c_{ij}^{(2)}\}$，对图$G$应用Floyd算法，就可以计算出所有顶点对之间的最小运输费用，最后提取需要的$S_i(i=1 ,2,…,7)$到$A_j(j=1,2,…,15)$的最小运送费用$c_{ij}$(单位:万元)。

计算单位钢管$S_i$购买单位钢管运到结点$A_j$加上销售价$p_i$的最小费用
可用同样的方法求出钢厂$S_2,S_3,S_4,S_5,S_6,S_7$到点$A_j$的最小费用，从而得出从钢厂$S_i$购买单位钢管运到节点$A_j$的最小总费用（单位：万元）。综合见下表：

	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$	$A_6$	$A_7$	$A_8$	$A_9$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$
$S_1$	170.7	160.3	140.2	98.6	38	20.5	3.1	21.2	64.2	92	96	106	121.2	128	142
$S_2$	215.7	205.3	190.2	171.6	111	95.5	86	71.2	114.2	142	146	156	171.2	178	192
$S_3$	230.7	220.3	200.2	181.6	121	105.5	96	86.2	48.2	82	86	96	111.2	118	132
$S_4$	260.7	250.3	235.2	216.6	156	140.5	131	116.2	84.2	62	51	61	76.2	83	97
$S_5$	255.7	245.3	225.2	206.6	146	130.5	121	111.2	79.2	57	33	51	71.2	73	87
$S_6$	265.7	255.3	235.2	216.6	156	140.5	131	121.2	84.2	62	51	45	26.2	11	28
$S_7$	275.7	265.3	245.2	226.6	166	150.5	141	131.2	99.2	77	66	56	38.2	26	2

3.2 总费用的计算

**单位钢管从钢厂$S_i$运输到$A_j$的运输量 **

	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$	$A_6$	$A_7$	$A_8$	$A_9$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$	总量
S(1)	0	0	0	335	0	200	265	0	0	0	0	0	0	0	0	800
S(2)	0	179	188	133	0	0	0	300	0	0	0	0	0	0	0	800
S(3)	0	0	320	0	16	0	0	0	664	0	0	0	0	0	0	1000
S(4)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S(5)	0	0	0	0	600	0	0	0	0	0	415	0	0	0	0	1015
S(6)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	351	0	86	333	621	165	1556
S(7)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

即厂家$S_1$往$A_4$节点运输335单位钢管，往$A_6$节点运输200单位钢管，往$A_7$节点运输265单位钢管，共计800单位。其它钢厂以此类推，得最小费用为127.8632亿元。

3.3 Python计算代码

#铁路赋权图

[进行中，参看链接程序](https://blog.csdn.net/weixin_60200880/article/details/125881596)

#公路赋权图
[进行中，参看链接程序](https://blog.csdn.net/weixin_60200880/article/details/125881596)

#最小费用
[进行中，参看链接程序](https://blog.csdn.net/weixin_60200880/article/details/125881596)

引进0 −1 变量后，求得总费用的最小值为 127.8632 亿。

参考文献

1. 钢管订购与运输优化模型
2. 钢管运输模型
3. 最短路+最小费用+线性规划（钢管订购和运输问题）
4. 优化模型：钢管订购及运输优化模型