钢管订购和运输模型——Python实现

要铺设一条\(A_1→A_2→…→A_{15}\)的输送天然气的主管道，如图所示。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有\(S_1 ,S_2,…,S_7\)。图中粗线表示铁路,单细线表示公路,双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原有公路,或者建有施工公路),圆圈表示火车站,每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位:km)。为方便计算, 1km主管道钢管称为1单位钢管。

一、问题描述

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂\(S_i\) 在指定期限内能生产该钢管的最大数量为\(s_i\)个单位，钢管出厂销价1单位钢管为\(p_i\)万元，如下表：

\(i\)	1	2	3	4	5	6	7
\(S_i\)	800	800	1000	2000	2000	2000	3000
\(p_i\)	160	155	155	160	155	150	160

单位钢管的铁路运价如下表：

里程(km)	≤300	301～350	351～400	401～450	451～500	501～600	601～700	701～800	801～900	901～1000
运价(万元)	20	23	26	29	32	37	44	50	55	60

1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点\(A_1,A_2,...,A_{15}\) ，而是管道全线）。请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。

二、数学模型

2.1 模型假设

假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路；
运费只按铁路、公路里程收取，即不考虑火车、汽车由于停靠站等其他一切外因带来的费用；
钢管在铺设过程中以1km为单位进行铺设；
钢管可由铁路、公路运往铺设路线任一地点；
所有钢管在指定期限内都能按时生产并运送指定地点；
钢管铺设过程中由站点向左右两边进行铺设。

2.2 符号说明

符号	解释
\(s_i\)	第\(i\)个钢厂的最大产量，\(i=1,2,...,7\)
\(A_j\)	输送管道（主管道）上的第\(j\)个点，\(j=1,2,...,15\)
\(c_{ij}\)	钢厂\(S_i\)向点\(A_j\)订购和运输单位钢管的费用，\(i=1,2,...,7 \quad j=1,2,...,15\)
\(x_{ij}\)	钢厂\(S_i\)向点\(A_j\)运输的钢管量，\(i=1,2,...,7 \quad j=1,2,...,15\)
\(p_i\)	第\(i\)个钢厂1单位钢管的销价，\(i=1,2,...,7\)
\(l_j\)	管道\(A_jA_{j+1}\)段需要铺设的钢管单位，\(j=1,2,...,14\)
\(y_j\)	节点\(j\)向左铺设的钢管量，\(j=1,2,...,15\)
\(z_j\)	节点\(j\)向右铺设的钢管量，\(j=1,2,...,15\)

2.3 数学模型的构建

项目总费用=铺设总费用+成本及运输总费用

铺设总费用

当钢管从钢厂运到点\(A_j\)后，钢管就要向运输点\(A_j\)的两边\(A_jA_{j+1}\)端和\(A_{j-1}A_j\)段运输（铺设）管道。\(l_j\)：表示节点\(A_j\)到\(A_{j+1}\)之间铺设钢管单位（\(y_1=0，z_{15}=0\)），铺设方法如下图：

由于相邻运输点\(A_j\)与\(A_{j+1}\)之间的距离为\(l_{j}\)，其左边为\(y_j\)，右边为\(z_j\)，那么\(A_j\) 向\(A_jA_{j+1}\) 的运输费可分为两部分
右边的铺设费用：$$ 0.1×( 1 + 2 + . . . + z_j ) =\frac{ z_j(z_j + 1)}{2} $$
左边铺设的费用：

\[0.1×( 1 + 2 + . . . + y_j )= \frac{y_j(y_j+1) }{2} \]

成本和运输总费用

若运输点\(A_j\)向钢厂\(S_i\)订购\(x_{ij}\)单位钢管，\(c_{ij}\)是1单位钢管从钢厂\(S_i\)到点\(A_j\)的最少总费用，即公路运费、铁路运费和钢管销价之和；则钢管从钢厂\(S_i\)运到运输点\(A_j\)所需的费用为\(c_{ij}x_{ij}\)，合并就得所有钢管从钢厂运到各个运输点上的总费用。所以该问题的数学模型：

\[\begin{array}{ll} \min \sum_{i=1}^7 \sum_{j=1}^{15} c_{i j} x_{i j}+\frac{0.1}{2} \sum_{j=1}^{15}\left[z_j\left(z_j+1\right)+y_j\left(y_j+1\right)\right] \\ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \sum_{j=1}^{15} x_{i j} \in\{0\} \cup\left[500, s_i\right], \quad i=1,2, \cdots, 7, \\ \sum_{j=1}^{15} x_{i j} \leq s_i, \quad i=1,2, \cdots, 7, \\ \sum_{i=1}^7 x_{i j}=z_j+y_j,\quad j=1,2, \cdots, 15, \\ y_{j+1}+z_j=l_j, \quad j=1,2, \cdots, 14, \\ y_1=0, \quad z_{15}=0 \\ x_{i j} \geqslant 0, z_j \geqslant 0, y_j \geqslant 0,\quad i=1,2, \cdots 7, j=1,2 \cdots, 15 \end{array}\right. \end{array} \]

三、计算过程

使用计算机求解上述数学规划时, 需要对非线性约束条件进行处理。引进0-1变量

\[f_i=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { 钢厂 } i \text { 生产, } \\ 0, \text { 钢厂 } i \text { 不生产} \end{array} \quad \quad i=1,2, \cdots, 7\right. \]

把约束条件第一式转化为线性约束

\[500 f_i \leqslant \sum_{j=1}^{15} x_{i j} \leqslant s_i f_i,\quad i=1,2, \cdots, 7 \]

3.1 运费矩阵的计算

将铁路与公路交界的点编号为\(B_j(j=1,2,…,17)\) ，先构造铁路距离赋权图\(G=(V,E_1,W_1)\)，其中\(V =\{S_1,…,S_7,A_1,…,A_{15} ,B_1，…,B_{17}\}\)，各顶点的编号如上图所示，\(W_1=[w_{ij}^{(1)}]_{39 \times 39}\)，有

\[w_{ij}^{(1)}=\left\{\begin{array}{l} c_{ij}^{(1)}, 钢厂S_i和节点j有铁路直连 \\ +\infin, 钢厂S_i和节点j没有铁路直连 \end{array} \quad \quad \quad i=1,2, \cdots, 7 \quad j=1,2, \cdots, 32\right. \]

其中\(c_{ij}^{(1)}\)是单位钢管的铁路运费，根据铁路运价表，可以得到铁路运输费用，若两点间的铁路距离值为无穷大，则对应的铁路运输费用也为无穷大。下面介绍购买单位钢管及从\(S_i(i=1 ,2,…,7)\)运送到\(A_j(j = 1 ,2,…,15)\)的最小购运费用\(c_{ij}\)的计算过程。

计算\(S_i\)到\(B_j\)铁路直达的运输费用
(1)由于钢厂\(S_i\)直接与铁路相连，所以可求出钢厂\(S_i\)到铁路和公路相交点\(B_j\)（对应于\(A_j\)）的最短路径;
(2)依据钢管的铁路运价表，算出钢厂\(S_i\)到\(B_j\)的铁路运输费用，并把费用作为边权赋给钢厂\(S_i\)到\(B_j\)的边。
如以\(S_1\)为例，\(S_1\)到\(B_j\)的单位钢管铁路费用为：

\(B_1\)	\(B_2\)	\(B_3\)	\(B_4\)	\(B_5\)	\(B_6\)	\(B_7\)	\(B_8\)	\(B_9\)	\(B_{10}\)	\(B_{11}\)	\(B_{12}\)	\(B_{13}\)	\(B_{14}\)	\(B_{15}\)	\(B_{16}\)	\(B_{17}\)
160	140	135	37	80	20	20	20	60	85	95	95	105	100	120	130	145

计算以费用为权的公路交通网络图
(1)再考虑从\(S_i\)、\(B_j\)到运输点\(A_j\)的公路赋权图；
(2)根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边。以\(S_1\)为例得图：

构造公路费用赋权图\(G2=( V,E_2, W_2)\)，其中V同上，\(W_2=[w_{ij}^{(2)}]_{39 \times 39}\)，有

\[w_{ij}^{(2)}=\left\{\begin{array}{l} c_{ij}^{(2)}, 钢厂S_i和节点j有公路直连 \\ +\infin, 钢厂S_i和节点j没有公路直连 \end{array} \quad \quad \quad i=1,2, \cdots, 7 \quad j=1,2, \cdots, 32\right. \]

其中\(c_{ij}^{(2)}\)为钢厂\(i\)到节点\(j\)的公路运输费用。！！！32是15个A和17个B节点的和，需要计算钢厂和他们之间的公路连接距离，以便计算相应的运费。

计算\(S_i\)到结点\(A_j\)的最小运输费用
由于可以用铁路、公路交叉运送，所以任意相邻两点间的最小运输费用为铁路、公路两者运输费用加和的最小值（即最短路）。构造铁路公路混合赋权图\(G=(V,E,W)\)，\(W=[c_{ij}]_{39 \times 39}\)，\(c_{ij}= \min \{c_{ij}^{(1)},c_{ij}^{(2)}\}\)，对图\(G\)应用Floyd算法，就可以计算出所有顶点对之间的最小运输费用，最后提取需要的\(S_i(i=1 ,2,…,7)\)到\(A_j(j=1,2,…,15)\)的最小运送费用\(c_{ij}\)(单位:万元)。

计算单位钢管\(S_i\)购买单位钢管运到结点\(A_j\)加上销售价\(p_i\)的最小费用
可用同样的方法求出钢厂\(S_2,S_3,S_4,S_5,S_6,S_7\)到点\(A_j\)的最小费用，从而得出从钢厂\(S_i\)购买单位钢管运到节点\(A_j\)的最小总费用（单位：万元）。综合见下表：

	\(A_1\)	\(A_2\)	\(A_3\)	\(A_4\)	\(A_5\)	\(A_6\)	\(A_7\)	\(A_8\)	\(A_9\)	\(A_{10}\)	\(A_{11}\)	\(A_{12}\)	\(A_{13}\)	\(A_{14}\)	\(A_{15}\)
\(S_1\)	170.7	160.3	140.2	98.6	38	20.5	3.1	21.2	64.2	92	96	106	121.2	128	142
\(S_2\)	215.7	205.3	190.2	171.6	111	95.5	86	71.2	114.2	142	146	156	171.2	178	192
\(S_3\)	230.7	220.3	200.2	181.6	121	105.5	96	86.2	48.2	82	86	96	111.2	118	132
\(S_4\)	260.7	250.3	235.2	216.6	156	140.5	131	116.2	84.2	62	51	61	76.2	83	97
\(S_5\)	255.7	245.3	225.2	206.6	146	130.5	121	111.2	79.2	57	33	51	71.2	73	87
\(S_6\)	265.7	255.3	235.2	216.6	156	140.5	131	121.2	84.2	62	51	45	26.2	11	28
\(S_7\)	275.7	265.3	245.2	226.6	166	150.5	141	131.2	99.2	77	66	56	38.2	26	2

3.2 总费用的计算

**单位钢管从钢厂\(S_i\)运输到\(A_j\)的运输量 **

	\(A_1\)	\(A_2\)	\(A_3\)	\(A_4\)	\(A_5\)	\(A_6\)	\(A_7\)	\(A_8\)	\(A_9\)	\(A_{10}\)	\(A_{11}\)	\(A_{12}\)	\(A_{13}\)	\(A_{14}\)	\(A_{15}\)	总量
S(1)	0	0	0	335	0	200	265	0	0	0	0	0	0	0	0	800
S(2)	0	179	188	133	0	0	0	300	0	0	0	0	0	0	0	800
S(3)	0	0	320	0	16	0	0	0	664	0	0	0	0	0	0	1000
S(4)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S(5)	0	0	0	0	600	0	0	0	0	0	415	0	0	0	0	1015
S(6)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	351	0	86	333	621	165	1556
S(7)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

即厂家\(S_1\)往\(A_4\)节点运输335单位钢管，往\(A_6\)节点运输200单位钢管，往\(A_7\)节点运输265单位钢管，共计800单位。其它钢厂以此类推，得最小费用为127.8632亿元。

3.3 Python计算代码

#铁路赋权图

[进行中，参看链接程序](https://blog.csdn.net/weixin_60200880/article/details/125881596)

#公路赋权图
[进行中，参看链接程序](https://blog.csdn.net/weixin_60200880/article/details/125881596)

#最小费用
[进行中，参看链接程序](https://blog.csdn.net/weixin_60200880/article/details/125881596)

引进0 −1 变量后，求得总费用的最小值为 127.8632 亿。

参考文献

1. 钢管订购与运输优化模型
2. 钢管运输模型
3. 最短路+最小费用+线性规划（钢管订购和运输问题）
4. 优化模型：钢管订购及运输优化模型