排队论——系统运行指标的R和Python实现

排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法，它是研究各种各样的排队现象的。它所要解决的主要问题是：在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的最少设备，使得在满足服务对象条件下，服务机构的花费最为经济，使服务系统效率最高。

一、随机服务系统实例

现实生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象，上述问题都可以抽象为排队系统进行分析。排队系统是由服务机构和服务对象（顾客）构成。顾客到来的时刻和服务时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。上图为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。

到达顾客	服务内容	服务机构
病人	诊断/手术	医生/手术台
进港的货船	装货/卸货	码头泊位
到港的飞机	降落	机场跑道
电话拨号	通话	交换台
故障机器	修理	修理技工
修理技工	领取修配零件	仓库管理员
上游河水	入库	水闸管理员

智能仓库中配置多个搬运机器人，中心控制系统接收到订单后，经过分析拆解为相应的拣选任务，然后根据任务优先级，通过一定的分配算法，将任务分配给当前处于空闲状态的搬运机器人。这里，我们将订单看作顾客，搬运机器人看作服务台，不考虑系统对订单的处理及任务分配过程。那么，整个系统可以抽象为一个多服务台排队系统（M/M/C）。

二、排队系统运行指标

2.1 服务时间是负指数分布的排队系统

	顾客有效到达率	系统空闲的概率\(P_0\)	系统\(n\)个顾客概率\(P_n\)	负荷强度	队长\(L_s\)	队列长\(L_q\)	逗留时间 \(W_s\)	等待时间\(W_q\)
M/M/1/∞/∞（标准模型）	\(\lambda\)	\(P_0=1-\rho\)	\(P_{n=} \rho^n P_0=(1-\rho) \rho^n\)	\(\rho\)	\(L_S=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}\)	\(L_q=L_{s^{-}} \rho=\frac{\rho^2}{1-\rho}\)	\(W_s=\frac{L_s}{\lambda}\)	\(W_q=W_s-\frac{1}{\mu}\)
M/M/1/N/∞ （系统容量有限）	\(\lambda_e=\lambda\left(1-P_N\right)\)	\(P_0=\frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}}\)	\(P_{n=} \rho^n P_0\)	\(\frac{\lambda_e}{\mu}\)	\(L_S=\frac{\rho}{1-\rho}-\frac{(N+1) \rho^{N+1}}{1-\rho^{N+1}}\)	\(L_q=L_S-(1-P_0)\)	$ W_s =\frac{L_s}{\lambda_e} $	$W_q =\frac{L_q}{\lambda_e} $
M/M/1/∞/m（顾客源有限）	\(\lambda_e=\lambda\left(m-L_s\right)\)	\(P_0=\frac{1}{\sum_{i=0}^{m} \frac{m!}{(m-i)!} \quad \rho^i}\)	\(P_n=\frac{m!}{(m-n) !} \rho^n P_0\)	\(\frac{\lambda_e}{\mu}\)	\(L_S=m-\frac{\mu}{\lambda}(1-P_0)\)	\(L_q=L_s-(1-P_0)\)	\(W_s=\frac{L_s}{\lambda_e}\)	$W_q=\frac{L_q}{\lambda_e} $
M/M/C/∞/∞（多服务台）	\(\lambda\)	\(P_0=\frac{1}{\sum_{k=0}^{c-1} \frac{1}{k!}(\frac{\lambda}{\mu})^k+\frac{1}{C!} \frac{1}{1-\rho} (\frac{\lambda}{\mu})^c}\)		\(\frac{\lambda}{c\mu}\) （！该系统公式中\(\rho\)）	\(L_S=L_q+\frac{\lambda}{\mu}\)	$ L_q=\frac{(C \rho)^C \rho}{C!(1-\rho)^2} \quad P_0 $	$ W_s=\frac{L_s}{\lambda} $	$ W_q=\frac{L_q}{\lambda} $
M/M/C/N/∞	\(\lambda_e=\lambda\left(1-P_N\right)\)	\(P_0=\left\{\begin{array}{l}{\left[\sum_{k=0}^{c} \frac{1}{k !}\left(c \rho^k\right)+\frac{c^c}{c !} \frac{\rho\left(\rho^c-\rho^N\right)}{1-\rho}\right]^{-1}, \rho \neq 1} \\ \sum_{k=0}^{c} \frac{1}{k !}\left(c^k\right)+\frac{c^c}{c !}(N-c+1), \rho=1\end{array}\right.\)		\(\frac{\lambda_e}{c\mu}\)	\(L_s=L_q+c\rho(1-P_N)\)	$L_{q}=\frac{(c \rho)^{c} \rho}{c !(1-\rho) 2} P_{0}\left[1-\rho^{N-c}-（N-c）(1-\rho) \rho^{N-c}\right] $	\(Ws=\frac{L_s}{\lambda_e}\)	$ W_q=\frac{L_q}{\lambda_e} $
	顾客到达率	\(\lambda\)	顾客服务率	\(\mu\)

2.2 服务时间其他分布的排队系统

	M/G/1/∞/∞	M/D/1/N/∞	M/\(E_k\)/1/∞/m)
系统 (每小时) 顾客平均数	\(L_s=\rho+\frac{\rho^2+\lambda^2D(v))}{2(1-\rho)}\)	\(L_s=\rho+\frac{\rho^2}{2(1-\rho))}\)	\(L_s=\rho+\frac{(k+1)\rho^2}{2k(1-\rho)}\)
(每小时) 等待服务的平均顾客数	\(L_q=\lambda W_q=L_s-\rho\)	\(L_q=L_s-\rho=\frac{\rho^2}{2(1-\rho)}\)	$ L_q = L_s \rho = \frac{(k+1) \rho ^2}{2k(1-\rho)}$
(每位) 顾客在店内的平均逗留时间	\(W_s=\frac{L_s}{\lambda}\)	\(W_s=\frac{L_s}{\lambda}\)	\(W_s=\frac{L_s}{\lambda}\)
（每位）顾客平均修理时间	\(W_q=W_s-E(v)\)	\(W_q=\frac{L_q}{\lambda}\)	\(W_(q)=\frac{L_q}{\lambda}\)
	\(\lambda\):每小时到达店内人数	\(\lambda\):每小时到达店内人数
	\(\mu\):每小时可以服务的人数	\(\mu\):每小时可以服务的人数
	\(E(v)\): 服务时间 \(v\) 的期望	\(E(v)=\frac{1}{\mu}\)
	\(D(v)\): 方差	\(D(v)=\frac{1}{k\mu^2}\)
	\(\rho\):系统忙着的概率 \(\rho=\lambda E(v)<1\)	\(\rho=\frac{\lambda}{\mu}\):系统忙着的概率

三、R语言计算

案例1：您在一家银行工作，您需要与呼叫中心联系并告诉他们您需要的服务器数量。您正在为客户的特定功能查询设置此呼叫中心，客户在一小时内有大约20个查询，每个查询大约需要15分钟才能解决。试找出所需的服务器数量，使得平均等待时间缩短至不到1分钟。
给定问题可参考多服务台M/M/C等待时间的计算。

3.1 R计算程序

options(digits=4)
rm(list = ls())
a =data.frame()      #系统M/M/C运行指标计算结果

Lambda = 20 
Mue = 4               #基于到达率和服务率可以预估服务器数量大约为6-20
Rho <- Lambda / Mue

for (c in 6:20){ 
  P0inv=0
  for (i in 0:(c-1)) {P0inv = P0inv+(Rho^i)/factorial(i)} 
  P0inv <- P0inv+ (Rho^c / (factorial(c)*(1-Rho/c)))
  P0 = 1 / P0inv 
  Lq= P0*(Rho^c)*(Rho/c)/(factorial(c)*(1-(Rho/c))^2)
  Wq =60* Lq / Lambda 
  Ls <- Lq + Rho 
  Ws <- 60*Ls/Lambda
  a <- rbind(a,cbind(P0,Ls,Lq,Ws,Wq))
} 

3.2 R计算结果

           P0    Ls        Lq    Ws        Wq
 [1,] 0.004512 7.938 2.938e+00 23.81 8.813e+00
 [2,] 0.005975 5.810 8.104e-01 17.43 2.431e+00
 [3,] 0.006474 5.279 2.788e-01 15.84 8.363e-01
 [4,] 0.006648 5.101 1.006e-01 15.30 3.019e-01
 [5,] 0.006708 5.036 3.611e-02 15.11 1.083e-01
 [6,] 0.006728 5.013 1.257e-02 15.04 3.772e-02
 [7,] 0.006735 5.004 4.203e-03 15.01 1.261e-02
 [8,] 0.006737 5.001 1.341e-03 15.00 4.024e-03
 [9,] 0.006738 5.000 4.077e-04 15.00 1.223e-03
[10,] 0.006738 5.000 1.179e-04 15.00 3.538e-04
[11,] 0.006738 5.000 3.249e-05 15.00 9.747e-05
[12,] 0.006738 5.000 8.531e-06 15.00 2.559e-05
[13,] 0.006738 5.000 2.138e-06 15.00 6.414e-06
[14,] 0.006738 5.000 5.121e-07 15.00 1.536e-06
[15,] 0.006738 5.000 1.174e-07 15.00 3.522e-07

从上面结果可知，设置呼叫中心服务台数量为8，其等待时间为Wq=2.431e+00分钟；设置服务台数量为9，其等待时间Wq=8.363e-01分钟，满足问题要求。

四、Python语言计算

案例1：您在一家银行工作，您需要与呼叫中心联系并告诉他们您需要的服务器数量。您正在为客户的特定功能查询设置此呼叫中心，客户在一小时内有大约20个查询，每个查询大约需要15分钟才能解决。试找出所需的服务器数量，使得平均等待时间缩短至不到1分钟。
给定问题可参考多服务台M/M/C等待时间的计算。

4.1 Python计算程序

import pandas as pd
import numpy as np

# 设置浮点数输出格式
pd.set_option('display.float_format', '{:.4f}'.format)
# 初始化，系统M/M/C运行指标计算结果
a = pd.DataFrame()
Lambda = 20
Mue = 4  # 基于到达率和服务率可以预估服务器数量大约为6-20
Rho = Lambda / Mue

for c in range(6, 21):
    P0inv = 0
    for i in range(c):
        P0inv += (Rho**i) / np.math.factorial(i)
    P0inv += (Rho**c) / (np.math.factorial(c) * (1 - Rho / c))
    P0 = 1 / P0inv
    Lq = P0 * (Rho**c) * (Rho / c) / (np.math.factorial(c) * (1 - Rho / c)**2)
    Wq = 60 * Lq / Lambda
    Ls = Lq + Rho
    Ws = 60 * Ls / Lambda
    a = pd.concat([a, pd.DataFrame({'P0': [P0], 'Ls': [Ls], 'Lq': [Lq], 'Ws': [Ws], 'Wq': [Wq]})], ignore_index=True)
print(a)

4.2 Python计算结果

       P0     Ls     Lq      Ws     Wq
0  0.0045 7.9376 2.9376 23.8127 8.8127
1  0.0060 5.8104 0.8104 17.4311 2.4311
2  0.0065 5.2788 0.2788 15.8363 0.8363
3  0.0066 5.1006 0.1006 15.3019 0.3019
4  0.0067 5.0361 0.0361 15.1083 0.1083
5  0.0067 5.0126 0.0126 15.0377 0.0377
6  0.0067 5.0042 0.0042 15.0126 0.0126
7  0.0067 5.0013 0.0013 15.0040 0.0040
8  0.0067 5.0004 0.0004 15.0012 0.0012
9  0.0067 5.0001 0.0001 15.0004 0.0004
10 0.0067 5.0000 0.0000 15.0001 0.0001
11 0.0067 5.0000 0.0000 15.0000 0.0000
12 0.0067 5.0000 0.0000 15.0000 0.0000
13 0.0067 5.0000 0.0000 15.0000 0.0000
14 0.0067 5.0000 0.0000 15.0000 0.0000

4.3 案例应用

案例2：您是银行分行的运营官，您的分支机构最多可容纳50名客户。如果客户以100客户/小时的速度进入并且出纳员在3分钟内解决查询，为确保客户等待时间少于30秒，需要多少柜员？
系统模型M/M/C/N/∞ ，其中\(\lambda=100\)，\(\mu=20\)，\(N=50\).

总结

排队现象作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题 形象地描述成顾客（如电话用户、发生故障的机床等）来到服务台前（如电话线路维修工人 等)要求接待，如果“服务台”已被其他顾客占用，那么就得排队等待;另一方面服务台”也 时而清闲，时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储 问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理论来进行计算，从而获得合理的解决方案。

参考文献

单服务台排队模型R实现
怎么利用Python进行数学建模与分析？
【数学建模算法】(19)排队论：多服务台模型（M/M/s/∞)
R语言中如何使用排队论预测等待时间？