对策论——习题解答（五）

1.有甲、乙两支游泳队举行包括三个项目的对抗赛。这两支游泳队各有一名健将级运动员(甲队为李，乙队为王)，在三个项目中成绩都很突出，但规则准许他们每人只能参加两项比赛，每队的其他两名运动员可参加全部三项比赛。已知各运动员平时成绩(秒)见下表。假定各运动员在比赛中都发挥正常水平，又比赛第一名得5分，第二名得3分，第三名得1分，问教练员应决定让自己队健将参加哪两项比赛，使本队得分最多?(仅要求建立两队博弈的赢得矩阵，各队参加比赛名单互相保密，定下来后不准变动)。

	甲 队			乙 队
	A1	A2	李	B1	B2	王
100米蝶泳	59.7	63.2	57.1	61.4	64.8	58.6
100米仰泳	67.2	68.4	63.2	64.7	66.5	61.5
100米蛙泳	74.1	75.5	70.3	73.4	76.9	72.6

解： 分别用甲1、甲2和甲3表示甲队中李姓健将不参加蝶泳、仰泳和蛙泳比赛的策略；分别用乙1、乙2和乙3表示乙队中王姓健将不参加蝶泳、仰泳和蛙泳比赛的策略。根据题中所给成绩数据，当甲队采用策略甲1，乙队采用策略乙1时，在100米蝶泳中，甲队中A1获得第一名、乙队B1获得第二名和A2获得第三名，这时甲队获得6分，乙队获得3分；在100米仰泳中，甲队中李获得第二名、乙队王获得第一名和B1获得第三名，这时甲队获得3分，乙队获得6分；在100米蛙泳中，甲队中李获得第一名，乙队王获得第二名，B1获得第三名，这时甲队获得5分，乙队获得4分。对应于对局（甲1，乙1），两队的各自的得分为（14,13），同理可得其他对局甲乙两队的得分，见下表：

	乙1	乙2	乙3
甲1	（14,13）	（13,14）	（12,15）
甲2	（13,14）	（12,15）	（12,15）
甲3	（12,15）	（12,15）	（13,14）

2.求解下列矩阵对策。

$$A=\left[\begin {array}{c} 5 &6 &4 \\ 8 &6 &7 \\ 5 &4 &5 \\ \end{array}\right]$$

提示： 该矩阵对策有纯最优策略。

	$\beta_1$	$\beta_2$	$\beta_3$	$$\min_{j}a_{ij}$$
$\alpha_1$	5	6	4	4
$\alpha_2$	8	6	7	$6^*$
$\alpha_3$	5	4	5	4
$$\max_{i}a_{ij}$$	8	$6^*$	7

3. A、B两人各有1元、5角和1角的硬币各一枚。在双方互不知道的情况下各出一枚硬币，并规定当和为奇数时，A赢得B所出硬币；当和为偶数时，B赢得A所出硬币。试据此列出二人零和对策的模型，并说明该项游戏对双方是否公平合理。

提示： 用1,5,10分别代表A或B出1分,5分,1角硬币的策略，则A的赢得矩阵见下表。

	$\beta_1$=1	$\beta_2$=5	$\beta_3$=10	混合策略
$\alpha_1$=1	-1	1	10	$x_1$
$\alpha_2$=5	-5	-5	10	$x_2$
$\alpha_3$=10	1	5	-10	$x_3$
混合策略	$y_1$	$y_2$	$y_3$

解得A的最优混合策略为（1/2,0,1/2）；B的最优混合策略为（10/11,0,1/11），此时各自收益值都为0，即该游戏公平合理。

4. 有A，B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了三个竞争对策：①将新产品全面投入生产；②继续生产现有产品，新产品小批量试产试销；③维持原状，新产品只生产样品征求意见。B厂了解到A厂有新产品情况下也考虑了三个策略：①加速研制新计算器；②对现有计算器革新；③改进产品外观和包装。由于受市场预测能力限制，下表只表明双方对策结果的大致的定性分析资料(对A厂而言)：若用打分法，一般记0分，较好打1分，好打2分，很好为3分，较差打一1分，差为一2分，很差为一3分，试通过对策分析，确定A，B两厂各应采取哪一种策略。

		B厂策略
		1	2	3
A厂策略	1	较好	好	很好
	2	一般	较差	较好
	3	很差	差	一般

提示： A厂的赢得矩阵为

$$A=\left[\begin {array}{c} 1 &2 &3 \\ 0 &-1 &1 \\ -3 &-2 &0 \\ \end{array}\right]$$

A,B两厂均采取第一种策略。

5. 利用优超原则求解下列矩阵对策。

$$A=\left[\begin {array}{c} 1 &3 &9 &-2\\ 2 &5 &7 &6 \\ 3 &0 &2 &5 \\ 2 &-2 &4 &0 \end{array}\right]$$

提示：先去掉第三列（第三列比第二列对应元素都大）；再去掉第一行和第四行（第二行比第一行和第四行对应元素都大）；最后去掉最后一列（比其他列对应元素都大）。

6. 利用图解法求解下列矩阵对策。

$$A=\left[\begin {array}{c} 2 &4 \\ 2 &3 \\ 3 &2 \\ -2&6 \end{array}\right];\quad B=\left[\begin {array}{c} 1 &4 &6 \\ 3 &2 &5 \end{array}\right]$$

7. 用线性方程组法求猜手游戏的混合纳什均衡策略。

$$A=\left[\begin {array}{c} 0 &1 &-1\\ -1 &0 &1 \\ 1 &-1 &0 \end{array}\right]$$

提示： 混合策略见下表

	$\beta_1$	$\beta_2$	$\beta_3$	混合策略
$\alpha_1$	0	1	-1	$x_1$
$\alpha_2$	-1	0	1	$x_2$
$\alpha_3$	1	-1	0	$x_3$
混合策略	$y_1$	$y_2$	$y_3$

$$\begin{cases} 0 x_1-1x_2+1x_3 & =v \\ 1x_1+0 x_2-1x_3 & =v \\ -1x_1+1x_2+0 x_3 & =v \\ x_1+x_2+x_3 & =1 \end{cases}\tag{1}$$

$$\begin{cases} 0 y_1+1y_2-1y_3 & =w \\ -1y_1+0 y_2+1y_3 & =w \\ 1y_1-1y_2+0 y_3 & =w \\ y_1+y_2+y_3 & =1 \\ \end{cases}\tag{2}$$

求解方程组，就得 $$x_i=\frac{1}{3}(i=1, \cdots, 3), y_j=\frac{1}{3}(j=1, \cdots, 3)$$

$$v=w=0$$

8. 用线性规划法求解下面矩阵对策

$$A=\left[\begin {array}{c} 7 &5 &3 \\ 6 &3 &8 \\ 6 &2 &1 \\ \end{array}\right]$$

提示： 线性规划过程如下

$$\begin{array}{r} (P)\left\{\begin{array}{r} \min \left(x_1+x_2+x_3\right) \\ 7 x_1+6 x_2+6 x_3 \geq 1 \\ 5 x_1+3 x_2 +2x_3 \geq 1 \\ 3 x_1+8x_2+ x_3 \geq 1 \\ x_1, x_2, x_3 \geq 0 \end{array}\right. \quad (D)\left\{\begin{array}{rr} \max \left(y_1+y_2+y_3\right) \\ 7 y_1+5 y_2+3 y_3 \leq 1 \\ 6 y_1+3 y_2 +8x_3 \leq 1 \\ 6 y_1+2y_2+ y_3 & \leq 1 \\ y_1, y_2, y_3 & \geq 0 \end{array}\right. \end{array}$$

9. 甲、乙二人游戏，每人出一个或两个手指，同时又把猜测对方所出的指数叫出来。如果只有一个人猜测正确，则他所赢得的数目为二人所出指数之和。写出该对策中各局中人的策略集合及甲的赢得矩阵，并回答局中是否存在某种出法比其它出法更为有利。

提示： 设甲乙二人的策略集合均为{出1猜1，出1猜2，出2猜1，出2猜2}，相应的用$x_1,x_2,x_3,x_4$； $y_1,y_2,y_3,y_4$表示甲乙二人的策略，所以甲的赢得矩阵为

$$A=\left[\begin {array}{c} 0 &2 &-3 &0 \\ -2 &0 &0 &3 \\ 3 &0 &0 &-4 \\ 0 &-3 &4 &0 \end{array}\right]$$

策略	$y_1$	$y_2$	$y_3$	$y_4$	$$\min_{j}a_{ij}$$
$x_1$	0	2	-3	0	-3
$x_2$	-2	0	0	3	-2*
$x_3$	3	0	0	-4	-4
$x_4$	0	-3	4	0	-3
$$\max_{i}a_{ij}$$	3	2*	4	3

所以该矩阵对策无纯纳什均衡，即不存在某种出法比其它出法更为有利。

10 利用优超原则求解下列矩阵对策

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lllll}3 & 4 & 0 & 3 & 0 \\ 5 & 0 & 2 & 5 & 9 \\ 7 & 3 & 9 & 5 & 9 \\ 4 & 6 & 8 & 7 & 6 \\ 6 & 0 & 8 & 8 & 3\end{array}\right]$
解：由于第 3 行优超于第 2 行，第 4 行优超于第 1 行，故可划去第 $1, ~ 2$ 行，得到新的赢得矩阵

$$A_1=\left[\begin{array}{lllll} 7 & 3 & 9 & 5 & 9 \\ 4 & 6 & 8 & 7 & 8 \\ 6 & 0 & 8 & 8 & 3 \end{array}\right]$$

对于 $A_1$ ，第 2 列优超于第 3，4，5列，故可去掉第3，4，5列，得到
$A_2=\left[\begin{array}{ll}7 & 3 \\ 4 & 6 \\ 6 & 0\end{array}\right] ;$ 对于 $A_2$ ，第 1 行优超于第 3 行，故可划去第 3 行，得到
$\mathrm{A}_3=\left[\begin{array}{ll}7 & 3 \\ 4 & 6\end{array}\right]$ 易知 $\mathrm{A}_3$ 没有鞍点，故求解

$$\left\{\begin{array} { l } { 7 x _ { 3 } + 4 x _ { 4 } = v } \\ { 3 x _ { 3 } + 6 x _ { 4 } = v } \\ { x _ { 3 } + x _ { 4 } = 1 } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} 7 y_1+3 y_2=v \\ 4 y_1+6 y_2=v \\ y_1+y_2=1 \end{array}\right.\right.$$

得 $x_3{ }^*=\frac{1}{3}, x_4{ }^*=\frac{2}{3}, y_1{ }^*=\frac{1}{2}, y_2{ }^*=\frac{1}{2}, v=5$
所以原矩阵对策的一个解为 $x^*=\left(0,0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)^T, y^*=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0,0,0\right)^T, V_G=5$

11 甲，乙两个企业生产同一种电子产品，两个企业都想通过改革管理获取更多的市场销售份额。甲企业的策略措施有（1）降低产品价格；（2）提高产品质量，延长保修年限；（3）推出新产品。乙企业考虑的策略措施有：（1）增加广告费用；（2）增设维修网点，扩大维修服务；（3）改进产品性能。

假定市场份额一定，由于各自采取的策略措施不同，通过预测，今后两家企业的市场份额变动情况如下表所示（正值为甲企业增加的市场占有份额，负值为减少的市场占有份额）。试通过对策分析，确定两个企业最优的策略。

	乙企业策略 1	乙企业策略 2	乙企业策略 3
甲企业策略1	10	-1	3
甲企业策略2	12	10	-5
甲企业策略3	6	8	5

解：根据赢得矩阵，有

	1	2	3	$$min_{j} a_{ij}$$
1	10	-1	3	-1
2	12	10	-5	-5
3	6	8	5	5
$$max_{i} a_{ij}$$	12	10	5

因为 $\max _i \min _j a_{i j}=\min _j \max _i a_{i j}=5$ ，所以 G 的解为 $(3,3), V_G=5$ ，即甲企业的最优
策略是＂推出新产品＂；乙企业的最优策略是＂改进产品性能＂。

得 $x_3{ }^*=\frac{1}{3}, x_4{ }^*=\frac{2}{3}, y_1{ }^*=\frac{1}{2}, y_2{ }^*=\frac{1}{2}, v=5$
所以原矩阵对策的一个解为 $x^*=\left(0,0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 0\right)^T, y^*=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0,0,0\right)^T, V_G=5$

12. 甲、乙两个企业生产同一种电子产品，两个企业都想通过改革管理获取更多的市场销售份额．甲企业的策略措施有：①降低产品价格；②提高产品质量，延长保修年限；③推出新产品．乙企业考虑的措施有：①增加广告费用；②增设维修网点，扩大维修服务；③改进产品性能．假定市场份额一定，由于各自采取的策略措施不同，通过预测，今后两个企业的市场占有份额变动情况如下表所示(正值为甲企业增加的市场占有份额，负值为减少的市场占有份额)．试通过对策分析，确定两个企业各自的最优策略。

		乙
		1	2	3
甲	一	10	-1	3
	二	12	10	-5
	三	6	8	5

提示： 参考题3，先用优超原则去掉第一列，然后去掉第一行，后面寻找混合纳什均衡即可。