对策论——习题解答（五）
1.有甲、乙两支游泳队举行包括三个项目的对抗赛。这两支游泳队各有一名健将级运动员(甲队为李，乙队为王)，在三个项目中成绩都很突出，但规则准许他们每人只能参加两项比赛，每队的其他两名运动员可参加全部三项比赛。已知各运动员平时成绩(秒)见下表。假定各运动员在比赛中都发挥正常水平，又比赛第一名得5分，第二名得3分，第三名得1分，问教练员应决定让自己队健将参加哪两项比赛，使本队得分最多?(仅要求建立两队博弈的赢得矩阵，各队参加比赛名单互相保密，定下来后不准变动)。
| 甲 队 | 乙 队 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A1 | A2 | 李 | B1 | B2 | 王 | |
| 100米蝶泳 | 59.7 | 63.2 | 57.1 | 61.4 | 64.8 | 58.6 |
| 100米仰泳 | 67.2 | 68.4 | 63.2 | 64.7 | 66.5 | 61.5 |
| 100米蛙泳 | 74.1 | 75.5 | 70.3 | 73.4 | 76.9 | 72.6 |
解： 分别用甲1、甲2和甲3表示甲队中李姓健将不参加蝶泳、仰泳和蛙泳比赛的策略；分别用乙1、乙2和乙3表示乙队中王姓健将不参加蝶泳、仰泳和蛙泳比赛的策略。根据题中所给成绩数据，当甲队采用策略甲1，乙队采用策略乙1时，在100米蝶泳中，甲队中A1获得第一名、乙队B1获得第二名和A2获得第三名，这时甲队获得6分，乙队获得3分；在100米仰泳中，甲队中李获得第二名、乙队王获得第一名和B1获得第三名，这时甲队获得3分，乙队获得6分；在100米蛙泳中，甲队中李获得第一名，乙队王获得第二名，B1获得第三名，这时甲队获得5分，乙队获得4分。对应于对局（甲1，乙1），两队的各自的得分为（14,13），同理可得其他对局甲乙两队的得分，见下表：
| 乙1 | 乙2 | 乙3 | |
|---|---|---|---|
| 甲1 | （14,13） | （13,14） | （12,15） |
| 甲2 | （13,14） | （12,15） | （12,15） |
| 甲3 | （12,15） | （12,15） | （13,14） |
2.求解下列矩阵对策。
\[A=\left[\begin {array}{c}
5 &6 &4 \\
8 &6 &7 \\
5 &4 &5 \\
\end{array}\right]
\]
提示： 该矩阵对策有纯最优策略。
| \(\beta_1\) | \(\beta_2\) | \(\beta_3\) | $$\min_{j}a_{ij}$$ | |
|---|---|---|---|---|
| \(\alpha_1\) | 5 | 6 | 4 | 4 |
| \(\alpha_2\) | 8 | 6 | 7 | \(6^*\) |
| \(\alpha_3\) | 5 | 4 | 5 | 4 |
| $$\max_{i}a_{ij}$$ | 8 | \(6^*\) | 7 |
3. A、B两人各有1元、5角和1角的硬币各一枚。在双方互不知道的情况下各出一枚硬币，并规定当和为奇数时，A赢得B所出硬币；当和为偶数时，B赢得A所出硬币。试据此列出二人零和对策的模型，并说明该项游戏对双方是否公平合理。
提示： 用1,5,10分别代表A或B出1分,5分,1角硬币的策略，则A的赢得矩阵见下表。
| \(\beta_1\)=1 | \(\beta_2\)=5 | \(\beta_3\)=10 | 混合策略 | |
|---|---|---|---|---|
| \(\alpha_1\)=1 | -1 | 1 | 10 | \(x_1\) |
| \(\alpha_2\)=5 | -5 | -5 | 10 | \(x_2\) |
| \(\alpha_3\)=10 | 1 | 5 | -10 | \(x_3\) |
| 混合策略 | \(y_1\) | \(y_2\) | \(y_3\) |
解得A的最优混合策略为（1/2,0,1/2）；B的最优混合策略为（10/11,0,1/11），此时各自收益值都为0，即该游戏公平合理。
4. 有A，B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了三个竞争对策：①将新产品全面投入生产；②继续生产现有产品，新产品小批量试产试销；③维持原状，新产品只生产样品征求意见。B厂了解到A厂有新产品情况下也考虑了三个策略：①加速研制新计算器；②对现有计算器革新；③改进产品外观和包装。由于受市场预测能力限制，下表只表明双方对策结果的大致的定性分析资料(对A厂而言)：若用打分法，一般记0分，较好打1分，好打2分，很好为3分，较差打一1分，差为一2分，很差为一3分，试通过对策分析，确定A，B两厂各应采取哪一种策略。
| B厂策略 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | ||
| A厂策略 | 1 | 较好 | 好 | 很好 |
| 2 | 一般 | 较差 | 较好 | |
| 3 | 很差 | 差 | 一般 |
提示： A厂的赢得矩阵为
\[A=\left[\begin {array}{c}
1 &2 &3 \\
0 &-1 &1 \\
-3 &-2 &0 \\
\end{array}\right]
\]
A,B两厂均采取第一种策略。
5. 利用优超原则求解下列矩阵对策。
\[A=\left[\begin {array}{c}
1 &3 &9 &-2\\
2 &5 &7 &6 \\
3 &0 &2 &5 \\
2 &-2 &4 &0
\end{array}\right]
\]
提示：先去掉第三列（第三列比第二列对应元素都大）；再去掉第一行和第四行（第二行比第一行和第四行对应元素都大）；最后去掉最后一列（比其他列对应元素都大）。
6. 利用图解法求解下列矩阵对策。
\[A=\left[\begin {array}{c}
2 &4 \\
2 &3 \\
3 &2 \\
-2&6
\end{array}\right];\quad B=\left[\begin {array}{c}
1 &4 &6 \\
3 &2 &5
\end{array}\right]
\]
7. 用线性方程组法求猜手游戏的混合纳什均衡策略。
\[A=\left[\begin {array}{c}
0 &1 &-1\\
-1 &0 &1 \\
1 &-1 &0
\end{array}\right]
\]
提示： 混合策略见下表
| \(\beta_1\) | \(\beta_2\) | \(\beta_3\) | 混合策略 | |
|---|---|---|---|---|
| \(\alpha_1\) | 0 | 1 | -1 | \(x_1\) |
| \(\alpha_2\) | -1 | 0 | 1 | \(x_2\) |
| \(\alpha_3\) | 1 | -1 | 0 | \(x_3\) |
| 混合策略 | \(y_1\) | \(y_2\) | \(y_3\) |
\[\begin{cases}
0 x_1-1x_2+1x_3 & =v \\
1x_1+0 x_2-1x_3 & =v \\
-1x_1+1x_2+0 x_3 & =v \\
x_1+x_2+x_3 & =1
\end{cases}\tag{1}
\]
\[\begin{cases}
0 y_1+1y_2-1y_3 & =w \\
-1y_1+0 y_2+1y_3 & =w \\
1y_1-1y_2+0 y_3 & =w \\
y_1+y_2+y_3 & =1 \\
\end{cases}\tag{2}
\]
求解方程组，就得$$x_i=\frac{1}{3}(i=1, \cdots, 3), y_j=\frac{1}{3}(j=1, \cdots, 3)$$
\[v=w=0
\]
8. 用线性规划法求解下面矩阵对策
\[A=\left[\begin {array}{c}
7 &5 &3 \\
6 &3 &8 \\
6 &2 &1 \\
\end{array}\right]
\]
提示： 线性规划过程如下
\[\begin{array}{r}
(P)\left\{\begin{array}{r}
\min \left(x_1+x_2+x_3\right) \\
7 x_1+6 x_2+6 x_3 \geq 1 \\
5 x_1+3 x_2 +2x_3 \geq 1 \\
3 x_1+8x_2+ x_3 \geq 1 \\
x_1, x_2, x_3 \geq 0
\end{array}\right. \quad
(D)\left\{\begin{array}{rr}
\max \left(y_1+y_2+y_3\right) \\
7 y_1+5 y_2+3 y_3 \leq 1 \\
6 y_1+3 y_2 +8x_3 \leq 1 \\
6 y_1+2y_2+ y_3 & \leq 1 \\
y_1, y_2, y_3 & \geq 0
\end{array}\right.
\end{array}
\]
9. 甲、乙二人游戏，每人出一个或两个手指，同时又把猜测对方所出的指数叫出来。如果只有一个人猜测正确，则他所赢得的数目为二人所出指数之和。写出该对策中各局中人的策略集合及甲的赢得矩阵，并回答局中是否存在某种出法比其它出法更为有利。
提示： 设甲乙二人的策略集合均为{出1猜1，出1猜2，出2猜1，出2猜2}，相应的用\(x_1,x_2,x_3,x_4\)； \(y_1,y_2,y_3,y_4\)表示甲乙二人的策略，所以甲的赢得矩阵为
\[A=\left[\begin {array}{c}
0 &2 &-3 &0 \\
-2 &0 &0 &3 \\
3 &0 &0 &-4 \\
0 &-3 &4 &0
\end{array}\right]
\]
| 策略 | \(y_1\) | \(y_2\) | \(y_3\) | \(y_4\) | $$\min_{j}a_{ij}$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_1\) | 0 | 2 | -3 | 0 | -3 |
| \(x_2\) | -2 | 0 | 0 | 3 | -2* |
| \(x_3\) | 3 | 0 | 0 | -4 | -4 |
| \(x_4\) | 0 | -3 | 4 | 0 | -3 |
| $$\max_{i}a_{ij}$$ | 3 | 2* | 4 | 3 |
所以该矩阵对策无纯纳什均衡，即不存在某种出法比其它出法更为有利。
10. 甲、乙两个企业生产同一种电子产品，两个企业都想通过改革管理获取更多的市场销售份额．甲企业的策略措施有：①降低产品价格；②提高产品质量，延长保修年限；③推出新产品．乙企业考虑的措施有：①增加广告费用；②增设维修网点，扩大维修服务；③改进产品性能．假定市场份额一定，由于各自采取的策略措施不同，通过预测，今后两个企业的市场占有份额变动情况如下表所示(正值为甲企业增加的市场占有份额，负值为减少的市场占有份额)．试通过对策分析，确定两个企业各自的最优策略。
| 乙 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | ||
| 甲 | 一 | 10 | -1 | 3 |
| 二 | 12 | 10 | -5 | |
| 三 | 6 | 8 | 5 |
提示： 参考题3，先用优超原则去掉第一列，然后去掉第一行，后面寻找混合纳什均衡即可。
