线性结构化语言——矩阵的情景展现（一）

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵可视为一种数学语言，因为它们具有表达、交流和分析复杂结构和关系的能力。矩阵用简单、统一的符号（元素和位置）来表示复杂的数据和关系，每个元素\(a_{ij}\)都有明确的位置和意义，这种精确性使得矩阵在处理复杂问题时非常高效；矩阵具有良好的表达能力，矩阵可以表达各种类型的数学和物理现象。例如
矩阵表示线性变换，如旋转、缩放和投影；矩阵运算遵循严格的数学规则，这些规则类似于语言中的语法；矩阵语言具有逻辑推理能力，可以用来证明和推导数学命题。例如，通过矩阵的特征值和特征向量可以分析线性变换的性质，这在量子力学和振动分析中非常重要。

一 矩阵的引入

1850年，英国数学家 James Joseph Sylvester (1814-1897) 将“矩阵”（Matrix）作为术语提出，Matrix源于拉丁语“子宫”(womb之意)；1855年，Sylvester和他一生的挚友Arthur Cayley (1821-1895)发表文章，首次以矩阵的形式表达线性方程组。一种强大的新的数学语言从此诞生！拉普拉斯说：简化的记法常常是深奥理论的源泉，举个略夸张的例子：有人说莱布尼茨的微分表示法\(\frac{dy}{dx}\)使欧洲微积分领先使用牛顿记法 $ \dot x$的英国100年，良好的的表达形式非常重要！
矩阵可用来表示研究对象的关联，是一种完全化、全面化、结构化、系统化的集成数的符号。

绿色「1」表示认识；黑色「2」表示不认识；红色「3」代表喜欢「也就是暗恋呀」

天哪，看这个也更晕了！！！快给我看看矩阵是怎样的？？

起点\终点	小红	小英	小明	小刚	小浩
小红	1	1	1	1	1
小英	2	1	2	3	1
小明	1	2	1	1	1
小刚	2	3	2	1	1
小浩	3	1	1	1	1

矩阵看起来就方便很多，就连调查一个人的关系也很容易，比如我们调查一下小明，看看有谁认识他，看看他认识谁。。

你看，这是不是就清晰许多了？所以矩阵的用处是非常广泛的，也是很好用的一种统计数据与调查表述方法。

矩阵符号：

由$ m×n $个数 $ a_{ij} $ 排成的 \(m\) 行 \(n\) 列的数表称为\(m\)行\(n\)列的矩阵，简称\(m × n\)矩阵，其中\(m\)为行数、\(n\)为列数。

\[\left[\begin {array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots & a_{mn} \end{array}\right] \]

矩阵是一个关系化符号，其每一个元素具有两个属性（行属性和列属性），表示行列关联的结果；矩阵也是一个结构化符号，便于计算机存储寻址；矩阵也是一个表格化符号，便于数据的精准管理；矩阵也是一个批处理符号，便于提高运算效率和速度。

二 矩阵和线性方程组

Cayley是第一个把矩阵作为独立的对象进行研究的人。1858年，他发表了矩阵领域里程碑文章 Memoir on the Theory of Matrices，定义了今天行列式的表示法、矩阵加法、数乘、乘法、次方、单位矩阵、零矩阵和逆矩阵，Cayley-Hamilton定理达到了顶峰，他被公认为矩阵的创立者。Cayley是一位高产数学家，与他在群论、图论和不变量理论方面的贡献相比，线代方面的贡献被掩盖了，而且，很多工作是在十几年律师生涯中利用业余时间做的。

给定如下方程组

\[\begin{cases} \ x+2y+z=2\\ 3x+8y+z=1\\ 4y+z=2 \end{cases} \]

我们用矩阵形式来表示上面的方程组：

\[A=\left[\begin {array}{c} 1 &2 &1 \\ 3 &8 &1 \\ 0 &4 &1 \\ \end{array}\right] ;b=\left[\begin {array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}\right] ;X=\left[\begin {array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array}\right] \]

要求解方程组，也就是我们需要获取一个向量，使得：$$AX=b$$

2.1 线性方程组解的矩阵表示

设线性方程组为

\[\begin{cases} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ ~\\ a_{m 1} x{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{cases}(1) \]

引入向量

\[\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\\vdots \\ a_{m 1} \end{array}\right);\alpha_{2}=\left(\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\\vdots \\ a_{m2} \end{array}\right);\cdots;\alpha_{n}=\left(\begin{array}{c} a_{1n} \\ a_{2n} \\\vdots \\ a_{mn} \end{array}\right);\beta=\left(\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\\vdots \\ b_{m} \end{array}\right) \quad(2) \]

于是线性方程组（1）可以改写成向量方程

\[x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+\cdots+x_{n} \alpha_{n}=\beta \quad (3) \]

显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量 \(\beta\) 可以表示成向量组\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\)的线性组合。

2.2 从行的角度思考

学习了矩阵、向量的表示方法以及运算规则之后，我们回过头来静静的思考一个问题：矩阵 \(A\)和列向量\(x\) 的乘法 \(Ax\) 到底意味着什么？下面，我们就来挖掘一下这里面的内涵。

在二阶方阵 \(A\)与二维列向量\(x\)相乘的例子中，

\[Ax= \begin{bmatrix} a & b \\c &d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ax_1 +bx_2 \\ cx_1+dx_2 \end{bmatrix} \]

刚才说了，位于矩阵\(A\) 第 \(i\) 行的各元素和列向量 \(i\) 各成分分别相乘后相加，得到的就是结果向量的第\(i\)个成分。这个计算方法有没有感觉很熟悉？没错，这不就是向量点乘的定义式么？

即：

\[Ax=\begin{bmatrix} row_1 \\ row_2 \end{bmatrix} x= \begin{bmatrix} row_1 \cdot x\\ row_2 \cdot x\end{bmatrix} \]

矩阵与向量的乘法如果从行的角度来看，就是如此。常规的计算操作就是这么执行的，但是似乎也没有更多可以挖掘的，那我们试试继续从列的角度再来看看。

2.3 从列的角度思考

如果从列的角度来计算矩阵与向量的乘积，会有另一套计算的方法，可能大家对这种方法要相对陌生一些。但是实质上，这种方法从线性代数的角度来看，还要更为重要一些，我们还是用二阶方阵进行举例。

\[Ax= \begin{bmatrix} a & b \\ c &d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} =x_1\begin{bmatrix} a\\ c\end{bmatrix} +x_2\begin{bmatrix} b\\ d\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} ax_1 +bx_2 \\ cx_1+dx_2 \end{bmatrix} \]

发现了规律没有？我们通过这种形式的拆解，也能得到最终的正确结果，这就是从列的角度进行的分析。从前面的知识我们可以这样描述：从列的角度来看，矩阵 \(A\) 与向量\(x\) 的乘法是对矩阵\(A\) 的各列向量进行线性组合的过程，每个列向量的组合系数就是向量 \(x\) 的各对应元素。
这么理解似乎有点新意，我们按照列的思想重新把矩阵\(A\)写成一组列向量的形式：

\[Ax=\begin{bmatrix}col_1 & col_2 &...&col_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{bmatrix} =x_1col_1+x_2col_2+...+x_ncol_n \]

依照上述公式，我们举一个实际的例子，就更清楚了。

\[Ax=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix} =3\begin{bmatrix} 1\\ 3\end{bmatrix} +5\begin{bmatrix} 2\\ 4\end{bmatrix} \]

所得到的结果就是矩阵第一列的列向量$ \begin{bmatrix} 1\\ 3\end{bmatrix}$ 的3倍加上第二列列向量 \(\begin{bmatrix} 2\\ 4\end{bmatrix}\) 的5倍。

因此，一个矩阵和一个向量相乘的过程，就是对位于原矩阵各列的列向量重新进行线性组合的过程，而线性组合的各系数就是向量的对应各元素。

三 矩阵和表

矩阵就是个表格，若干行若干列构成的一个表格。比如教师座位就是矩阵，常见的excel表格都是矩阵。为方便表达信息，经常将矩阵表转化为“矩阵图”，用来整理信息也是常用的模式，可以说是帮助人掌握事物整体构造的代表性工具。将信息按两条轴（切入点）做成图表，使复杂的内容能以视觉形式被人直观地认知到。“矩阵图”分为两大类，一是表格型，二是坐标型。
如产品分析是数据分析永远绕不开的一环，但是很多人在对产品进行分析的时候，会因为无从下手而产生很多疑问，比如怎么分析每一种产品对于用户的吸引力？如何衡量产品的比重？如何准确掌握产品更迭速度？如何对其进行有计划的投入呢？典型例子比如某家手机品牌，其旗下手机的品种档次很多，而手机产品更迭速度之快也不用多说，为了实现品牌的差异化必然要不断推出新品，这就带来了问题：究竟是要大量投入新品还是旧品呢？如果投入的产品根本不受欢迎，就会血本无归，这也是很多电商面临的问题。
数据分析模型——波士顿矩阵，正可以完美解决这个问题！波士顿矩阵(BCG Matrix)，又称市场增长率-相对市场份额矩阵，由美国著名的管理学家、波士顿咨询公司创始人布鲁斯·亨德森于1970年首创，它是通过销售增长率(反应市场引力的指标)和市场占有率(反应企业实力的指标)来分析决定企业的产品结构。市场吸引力包括企业销售量增长率、目标市场容量、竞争对手强弱、利润高低等。其中最重要的是反映市场引力的综合指标——销售增长率，这是决定企业产品结构是否合理的外在因素。企业实力包括市场占有率、技术、设备、资金利用能力等，其中市场占有率是决定企业产品结构的内在因素，他直接显示出企业的竞争实力。

波士顿矩阵将产品类型分为四种：
明星类产品：高增长且高市占，发展前景好，竞争力强，需加大投资以支持其发展；
问题类产品：高增长但低市占，发展前景好但市场开拓不足，需谨慎投资；
现金牛产品：低增长但高市占，成熟市场的领导者，应降低投资，维持市占并延缓衰退；
瘦狗类产品：低增长且低市占，理论率低甚至亏损，应采取撤退战略。

四 矩阵和数组

我们来看手机是通过显示屏幕来看的，这里先简单介绍下屏幕的显示原理。见下图1：
　

图1	图2

　　
显示屏幕就是个二维的矩阵，每个交叉点上有一个小灯泡，并连接到一根电线上，当电线通电（相当于1，其实也可以相当于0），那么这个地方就亮起来了，人眼就看到了。这个是最简单的显示原理，我们手机上的显示屏幕原理大同小异，只是每个交叉点不是一个简单的灯泡，而是一个RGB的显示单元，见图2。
生活中常见的电子黑白照片(灰度图像), 是由一个0∼255之间的整数构成的矩阵储存的, 其中0代表纯黑色, 255代表纯白色, 中间的整数从小到大, 表示由黑到白的过渡色。

图3	图4

图像矩阵在计算机中就是一种数据结构，但是矩阵的应用远不止这些。对于数值计算，大量的方程组求解，图像的压缩，求多项式函数的数值解等等，都是矩阵在数据处理中的出彩表现。最基本的二维变换包括旋转、缩放、扭曲，和平移四种，而这些几何运算则能够转换为一些基本的矩阵运算：

五 矩阵和图

图的结构比较复杂，任意两个顶点之间都可能存在关系（边），无法通过存储位置表示这种任意的逻辑关系，所以，图无法采用顺序存储结构。这一点同其他数据结构（如线性表、树）不同。因为图中的顶点具有相对概念，没有固定的位置，且顶点和顶点之间通过添加和删除边，维持着不同的关系。考虑图的定义，图是由顶点和边组成的。所以，分别考虑如何存储顶点和边。图常用的存储结构有邻接矩阵、邻接表、十字链表和邻接多重表。那么对于一般情况下该怎么存储图的数据结构呢？这里我们主要介绍两种常用的图存储结构 — 邻接矩阵。

5.1 邻接矩阵

图的逻辑结构分为两部分：V和E集合，其中，V是顶点，E是边。因此，用一个一维数组存放图中所有顶点数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。

5.2 邻接权矩阵

邻接权矩阵是将邻接矩阵的连接关系转换为边（弧）上的权，参看下图：

总结

进入20世纪，矩阵被被广泛应用于不同领域：海森堡在量子力学中，冯诺伊曼在计算机中都开始应用了矩阵，纳什在博弈论中……。今天，机器学习更是将矩阵作为最基础的工具，矩阵运算已经成为大数据时代的加减乘除，在从现实的原子世界向虚拟的比特世界迁移中，矩阵像阳光和氧气一样无所不在。

参考文献

1. 线性代数极简史
2. 矩阵的几何意义是什么？
3. 矩阵计算在计算机（算法）中的作用
4. 邻接表/图/DFS/BFS