随机分布和随机数生成——R语言
在人们的生活中，很多场景都需要用到随机数，例如福利彩票，车牌摇号，公共用房分配等。在用数学模型， 包括概率统计模型处理实际应用中的问题时， 我们希望建立的模型能够尽可能地符合实际情况。但是，实际情况是错综复杂的，如果一味地要求模型与实际完全相符，会导致模型过于复杂，以至于不能进行严格理论分析。所以实际建模时会忽略许多细节，为使得模型比较简单，引入随机数对许多理论进行分析研究。
一、概率密度函数与概率分布函数
概率密度函数用来描述连续型数据的概率，即描述随机变量在某一确定取值点的可能性的函数，用\(f(x)\)表示，\(f(x)\)在特定区间的积分值称为变量\(x\)属于该区间的概率密度函数，记分布函数
概率分布函数\(F(x)\)可用来描述离散型数据的概率。后面也用\(p(x)\)描述随机变量在某一确定取值点的可能性的函数，即\(p(x)\)是离散随机变量在特定取值上的概率，如\(p(1)、p(0)\)。
分位数是分布函数的逆（反）函数，即给定概率值计算出的随机变量的取值。在参数估计和假设检验中常常用到。
概率分布函数和概率密度函数，无非是用来描述事件在某个点或者某个区间内发生的概率大小。将其分为概率分布和概率密度函数，实质上是对连续性变量和离散型变量的分类讨论，特定数值，特定分析。概率分布函数和概率密度函数的全区间的结果必都为1，即事件在全区间段内必会发生。
二、R中的各种概率统计分布
概率分布相关函数汇总参看下图
| 中文名称 | 英文名称 | R对应的名字 | 附加参数 |
|---|---|---|---|
| β分布 | beta | beta |
shape1, shape2, ncp |
| 二项式分布 | binomial | binom |
size, prob |
| 柯西分布 | Cauchy | cauchy |
location, scale |
| 卡方分布 | chi-squared | chisq |
df, ncp |
| 指数分布 | exponential | exp |
rate |
| F分布 | F | f |
df1, df2, ncp |
| Gamma(y)分布 | gamma | gamma |
shape, scale |
| 几何分布 | geometric | geom |
prob |
| 超几何分布 | hypergeometric | hyper |
m, n, k |
| 对数正态分布 | log-normal | Inorm |
meanlog, sdlog |
| Logistic分布 | logistic | logis |
location, scale |
| 负二项式分布 | negative binomial | nbinom |
size, prob |
| 正态分布 | normal | norm |
mean, sd |
| 泊松分布 | Poisson | pois |
lambda |
| Wilcoxon分布 | signed rank | signrank |
n |
| t分布 | Student's t | t |
df, ncp |
| 均匀分布 | uniform | unif |
min, max |
| 韦伯分布 | Weibull | weibull |
shape, scale |
| 秩和分布 | Wilcoxon | wilcox |
m, n |
三、随机数生成
在R中各种概率函数都有统一的形式，即一套统一的 前缀+分布函数名：
d 表示密度函数（density）；
p 表示分布函数（生成相应分布的累积概率密度函数）；
q 表示分位数函数，能够返回特定分布的分位数（quantile）；
r 表示随机函数，生成特定分布的随机数（random）
| 分布 | 随机数 | 概率密度 | 分布函数 | 分位数函数 |
|---|---|---|---|---|
| 正态分布 | rnorm | dnorm | pnorm | qnorm |
| 二项分布 | rbinom | dbinom | pbinom | qbinom |
| 负二项分布 | rnbinom | dnbinom | pnbinom | qnbinom |
| 几何分布 | rgeom | dgeom | pgeom | qgeom |
| 超几何分布 | rhyper | dhyper | phyper | qhyper |
| F分布 | rf | df | pf | qf |
| 泊松分布 | rpois | dpois | ppois | qpois |
| t分布 | rt | dt | pt | qt |
| 连续均匀分布 | runif | dunif | punif | qunif |
以二项分布为例，实现上述各类函数
dbinom(x, size, prob, log = FALSE)# 可用于计算二项分布的概率。
pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)#二项分布的分布函数值
qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)#生成二项分布的特定分位数
rbinom(n, size, prob)#生成二项分布的随机数
3.1 rbinom()
rbinom(n, size, prob) 是生成二项分布随机数的函数：n表示生成的随机数数量，size表示进行贝努力试验的次数，prob表示一次贝努力试验成功的概率。
二项分布是指n次独立重复贝努力试验成功的次数的分布，每次贝努力试验的结果只有两个，成功和失败，记成功的概率为p
rbinom(50, size =1, prob = 0.7)
[1] 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1
[32] 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1
3.2 rnorm（）
正态分布随机数的生成函数是 rnorm（n,mean=0,sd=1）: n表示生成的随机数数量，mean是正态分布的均值，默认为0，sd是正态分布的标准差，默认时为1。
rnorm(100, mean = 0, sd = 1)
[1] 0.76783 1.09322 0.33601 -0.98324 -0.44368 -0.53098 -0.40858 2.01895 -0.97241
[10] -1.31241 -0.01927 -1.24650 -0.97130 0.15141 0.38303 -1.02315 1.13883 0.59859
[19] 0.00686 0.28861 1.36133 0.50797 -1.67239 -0.40857 -0.36354 -0.07675 -0.99930
[28] 0.42494 1.04411 0.08761 0.13990 0.28055 -1.35221 0.18436 1.75845 0.51947
[37] 1.36835 -0.71304 -0.88909 0.82046 1.30747 0.77086 -1.55077 -1.14196 1.25769
[46] -0.69147 0.04648 -1.08179 -0.62592 1.20181 -1.21098 -0.47295 0.50079 -0.31153
[55] -0.14242 0.88848 0.87554 -0.61668 0.04143 -0.47707 0.12071 -1.42551 -0.58143
[64] -0.46594 -1.16403 -0.74396 -0.33789 0.19360 0.70602 0.76989 -0.70990 -0.82788
[73] -0.34566 -0.93789 0.86371 -0.40835 -0.65136 0.23898 -0.00900 -0.67150 -0.86754
[82] 0.24687 -0.07485 0.82163 -1.26949 -2.11648 -1.05591 0.30317 0.79894 0.25390
[91] -0.05534 -0.26624 0.74114 -1.21227 -0.14231 0.93185 1.31570 0.35381 -0.54197
[100] -2.43955
3.3 sample(）
抽样函数sample（x, size, replace = FALSE, prob = NULL)：x（范围），size（抽样个数），replace有无放回的抽样，prob概率，可实现从随机数中取样，给随机数分组等等。
x<-rnorm(100, mean = 0, sd = 1)
sample(x, 30, replace = TRUE)
[1] 1.3294 -0.2839 -0.6261 -0.4688 0.0343 -0.3838 -0.0318 0.7202 0.4057 0.9090
[11] 0.8505 -1.3871 -0.4807 -0.7399 -0.7399 -1.0414 -0.2077 -1.1316 0.9259 0.5612
[21] -1.0414 -0.4404 -0.0786 0.6309 -0.3348 -0.5885 0.4280 -0.2017 0.2506 0.3028
x<-rnorm(100, mean = 0, sd = 1)
index <- sample(c(1,2),size = length(x),replace=TRUE,prob = c(0.7,0.3))
traindata <- x[index == 1]
testdata <- x[index == 2]
testdata
[1] -0.320 0.506 -0.469 -0.734 0.464 0.688 0.380 -1.302 0.710 -0.486 -0.537 0.140
[13] -0.115 1.285 -1.511 1.288 -0.458 1.708 0.232 0.644 0.215 0.839 -0.262 0.759
[25] -0.473 -0.535 -1.435 0.396 -0.510 -0.622 -1.788 -0.385 -0.629 1.134 -2.161
四、总结
随机数在密码学中有着非常基础且重要的地位,常用于密钥和安全参数生成。而在日常生活中,随机数也是保障公平性的重要手段,广泛应用于抽样、抽签、抽奖等场景当中。随机数在区块链中也应用广泛,除了密钥生成等传统安全场景,在共识机制、零知识证明等热门场景中也发挥着重要的作用,保护着区块链的安全。
参考文献
1.(生成随机数)[https://www.pianshen.com/article/8267220730/]
2.(R语言-11利用sample函数抽样)[https://www.jianshu.com/p/aa9154786dd2]
